¿Cómo determinan de manera única las ecuaciones de Maxwell EE{\bf E} y BB{\bf B} a pesar de no. de ecuaciones que excedan el no. de incógnitas?

Las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre están dadas por

∇ ⋅ mi = 0 ,     ∇ ⋅ B = 0
y
∇ × mi = − ∂ B ∂ t ,     ∇ × B = C − 2 ∂ mi ∂ t .
Las primeras dos ecuaciones son dos ecuaciones escalares, mientras que las segundas dos ecuaciones son ecuaciones vectoriales, ¡cada una de las cuales da tres ecuaciones independientes (por componentes)! Por lo tanto, hay 2 + 6 = 8 ecuaciones mientras que sólo 6 incógnitas: ( mi X , mi y , mi z ) y ( B X , B y , B z ) .

Pregunta Cuando tenemos un mayor número de incógnitas que el número de ecuaciones, en general, no esperamos obtener una solución única. Sin embargo, dadas las condiciones de contorno apropiadas, las ecuaciones de Maxwell funcionan triunfalmente y dan soluciones únicas a los campos eléctricos y magnéticos, debo estar pasando por alto algo. ¿Cuál es la resolución de esta aparente paradoja?

También puede consultar aquí physics.stackexchange.com/a/541022/247642

Respuestas (3)

Siempre que las dos primeras ecuaciones sean verdaderas en la condición inicial, son redundantes para la evolución temporal, porque

∇ ⋅ ∂ mi ∂ t = 1 C 2 ∇ ⋅ ∇ × B = 0
y por lo tanto ∇ ⋅ mi es constante, con un argumento similar para ∇ ⋅ B . Así que en realidad solo tenemos 6 ecuaciones que determinan la evolución del tiempo, que es la cantidad justa.

Pero, ¿no cree que se enfrentará al mismo problema al tratar con ecuaciones de origen, es decir, con distintas de cero? ρ y j ? Una cosa que noto es que ρ y j están relacionados a través de la ecuación de continuidad que está integrada en las ecuaciones de Maxwell. No sé si eso es un rescate.
@SRS Sí, son redundantes por la ecuación de continuidad. Hay una prueba de libro de texto estándar de que las ecuaciones de Maxwell implican la ecuación de continuidad. Puede tomar exactamente la misma prueba y ejecutarla a la inversa para mostrar que dos de las ecuaciones de Maxwell más la ecuación de continuidad (que debe cumplirse si tiene fuentes físicas) implican las otras dos.

Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales parciales , por lo que gran parte de la intuición que uno tiene al tratar con los sistemas de ecuaciones lineales o las ecuaciones diferenciales ordinarias no es aplicable aquí.

Más específicamente: la solución de las ecuaciones de divergencia se definen hasta un rizo, es decir

∇ ⋅ A = ∇ ⋅ ( A + ∇ × B ) .
Asimismo las soluciones de las ecuaciones rotacionales se definen hasta un gradiente:
∇ × A = ∇ × ( A + ∇ F ) .
Esta falta de definición se encuentra en el centro de la definición de los potenciales:
mi = − ∇ φ + 1 C ∂ A ∂ t , B = ∇ × A .
Tenga en cuenta que los potenciales no están definidos de forma única, de hecho, deben estar respaldados por una ecuación que fije el calibre (generalmente calibre de Coulomb o Lorentz).

Finalmente, las ecuaciones en la pregunta no contienen fuentes (es decir, la densidad de carga eléctrica y las densidades de corriente). De hecho, las ecuaciones de Maxwell están subdefinidas , ya que no contienen las ecuaciones materiales , que especifican cómo las fuentes se ven afectadas por el campo electromagnético.

Para em libres, los campos E y B son mutuamente dependientes, por lo que en realidad solo hay tres ecuaciones. Para cada una de las tres direcciones de E o B hay dos direcciones de propagación y dos fases, lo que hace 12 soluciones independientes por frecuencia , si las hay infinitas. El número total de soluciones posibles es infinito. En términos del potencial vectorial, todas las ecuaciones libres de Maxwell imponen la restricción de que ω = k C .

¿Cómo determinan de manera única las ecuaciones de Maxwell EE{\bf E} y BB{\bf B} a pesar de no. de ecuaciones que excedan el no. de incógnitas?
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