¿Las ecuaciones de Maxwell sobredeterminan los campos eléctrico y magnético?

No es un problema porque dos de las ocho ecuaciones son restricciones y no son del todo independientes de las seis restantes.

Las ecuaciones de restricción son las escalares,

$${\rm div}\,\,\vec D = \rho, \qquad {\rm div}\,\,\vec B = 0$$ Imaginar $\vec D=\epsilon_0\vec E$y $\vec B=\mu_0\vec H$en todas partes en aras de la simplicidad.

Si estas ecuaciones se cumplen en el estado inicial, se cumplirán inmediatamente en todo momento. Esto se debe a que las derivadas temporales de estas ecuaciones no dinámicas ("no dinámicas" significa que no están diseñadas para determinar las derivadas temporales de los campos en sí; en realidad no contienen derivadas temporales) pueden calcularse a partir de las 6 ecuaciones restantes . solo aplica${\rm div}$en las 6 ecuaciones de componentes restantes,

$${\rm curl}\,\, \vec E+ \frac{\partial\vec B}{\partial t} = 0, \qquad {\rm curl}\,\, \vec H- \frac{\partial\vec D}{\partial t} = \vec j.$$ cuando aplicas ${\rm div}$, los términos rotacionales desaparecen porque ${\rm div}\,\,{\rm curl} \,\,\vec V\equiv 0$es una identidad y se obtiene $$\frac{\partial({\rm div}\,\,\vec B)}{\partial t} =0,\qquad \frac{\partial({\rm div}\,\,\vec D)}{\partial t} =-{\rm div}\,\,\vec j.$$ La primera ecuación implica que ${\rm div}\,\,\vec B$sigue siendo cero si fuera cero en el estado inicial. La segunda ecuación se puede reescribir usando la ecuación de continuidad para $\vec j$, $$\frac{\partial \rho}{\partial t}+{\rm div}\,\,\vec j = 0$$ (es decir, asumimos que esto es válido para las fuentes) para obtener $$\frac{\partial ({\rm div}\,\,\vec D-\rho)}{\partial t} = 0$$ asi que ${\rm div}\,\,\vec D-\rho$también permanece cero en todo momento si es cero en el estado inicial.

Permítanme mencionar que entre las ecuaciones de Maxwell de 6+2 componentes, 4 de ellas, las que involucran$\vec E,\vec B$, puede resolverse escribiendo$\vec E,\vec B$en términos de cuatro componentes$\Phi,\vec A$. En este idioma, nos quedan solo las 4 ecuaciones de Maxwell restantes. Sin embargo, solo 3 de ellos son realmente independientes en cada momento, como se muestra arriba. Eso también está bien porque los cuatro componentes de$\Phi,\vec A$no están del todo determinados: uno de estos componentes (o una función) puede ser cambiado por el 1-parámetro$U(1)$invariancia calibre.

I) Permítanos, solo por diversión, generalizar la pregunta de OP a$n$dimensiones del espacio-tiempo, y comprobar cómo el conteo de eqs. y los grados de libertad (dof) funcionan en este entorno general. Usaremos la respuesta de Lubos Motl como plantilla para esta parte. También usaremos una relativista especial$(-,+,\ldots,+)$notación con$c=1$, dónde$\mu,\nu\in\{0,\ldots,n-1\}$denotan índices de espacio-tiempo, mientras que$i,j \in\{1,\ldots,n-1\}$denotan índices espaciales. ecuaciones de Maxwell son los siguientes.

1. Identidades de Bianchi sin fuente:

   $${\rm d}F~=~0 \qquad\qquad \Leftrightarrow \qquad\qquad \sum_{\rm cycl.~\mu,\nu,\lambda} d_{\lambda} F_{\mu\nu} ~=~0, \qquad\qquad F~:=~\frac{1}{2} F_{\mu\nu}~ {\rm d}x^{\mu} \wedge {\rm d}x^{\nu}.$$ Aquí $$\left(\begin{array}{c} n \cr 3\end{array}\right) {\rm~Bianchi~identities} ~=~ \left(\begin{array}{c} n-1 \cr 3\end{array}\right) {\rm~constraints}~+~ \left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right) {\rm~dynamical~eqs.}$$ $$~=~ ({\rm No~magnetic~monopole~eqs.})~+~ ({\rm Faraday's~law}).$$

2. ecuaciones de Maxwell con términos fuente:

   $$d_{\mu}F^{\mu\nu}~=~-j^{\nu} .$$ Aquí $$n {\rm~source~eqs.}~=~1 {\rm~constraint} ~+~ (n-1) {\rm~dynamical~eqs.}$$ $$~=~({\rm Gauss'~law}) ~+~ ({\rm Ampere's~law~with~displacement~term}).$$

Hemos usado la terminología de que una ecuación dinámica. contiene derivadas temporales, mientras que una restricción no. Así que el número de ecuaciones dinámicas. es

$$\left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right)~+~(n-1)~=~ \left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right),$$

que coincide precisamente

$${\rm the~number~} \left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right) {\rm~of~} F_{\mu\nu} {\rm~fields}$$ $$~=~\left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right){~\rm magnetic~fields~} F_{ij} ~+~(n-1) {\rm~electric~fields~}F_{i0} .$$

ecuaciones de Maxwell con términos fuente implican la continuidad eq.

$$d_{\nu}j^{\nu} ~=~-d_{\nu}d_{\mu}F^{\mu\nu}~=~0,\qquad\qquad F^{\mu\nu}~=~-F^{\nu\mu},$$

por lo que uno debe exigir que las fuentes de fondo$j^{\nu}$obedecer la ecuación de continuidad.

Por coherencia, la derivada temporal de cada una de las restricciones debería desaparecer. En el caso de las ecuaciones monopolares no magnéticas, esto se sigue de la ley de Faraday. En el caso de la ley de Gauss, esto se sigue de la ley de Ampere modificada y de la ecuación de continuidad.

II) La fracción anterior (I) efectuaba el cómputo en términos de la$\left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right)$intensidades de campo$F_{\mu\nu}$. En términos de$n$medir potenciales$A_{\mu}$, el conteo va de la siguiente manera. Las identidades de Bianchi ahora están trivialmente satisfechas,

$$F~=~{\rm d}A\qquad\qquad A~:=~A_{\mu}~ {\rm d}x^{\mu}.$$

Todavía quedan los$n$ecuaciones de Maxwell con términos fuente

$$(\Box\delta^{\mu}_{\nu}-d^{\mu}d_{\nu})A^{\nu}~=~-j^{\mu} , \qquad\qquad \Box~:=~d_{\mu}d^{\mu}.$$

Hay un único DOF de calibre debido a la simetría de calibre.$A \to A + {\rm d}\Lambda$y$F \to F$. Si un calibre se corrige usando la condición de calibre de Lorenz

$$d_{\mu}A^{\mu}~=~0,$$

las ecuaciones de Maxwell. convertirse en$n$ecuaciones de ondas desacopladas

$$\Box A^{\mu}(x)~=~-j^{\mu}(x).$$

Por una transformación espacial de Fourier, estos se convierten en EDO lineales de segundo orden desacopladas con coeficientes constantes,

$$(d^2_t+\vec{k}^2) \hat{A}^{\mu}(t;\vec{k})~=~\hat{j}^{\mu}(t;\vec{k}) ,$$

que, a partir de un tiempo inicial$t_0$, puede ser resuelto para todos los tiempos$t$, cf. La pregunta de OP. [Se debe comprobar que la solución

$$\hat{A}^{\mu}(t;\vec{k}) ~=~\int {\rm d} t^{\prime} ~G(t-t^{\prime};\vec{k})~\hat{j}^{\mu}(t^{\prime};\vec{k}), \qquad\qquad (d^2_t+\vec{k}^2)G(t-t^{\prime};\vec{k})~=~\delta(t-t^{\prime}),$$

satisface la condición de calibre de Lorenz. Esto se sigue de la ecuación de continuidad.]

III) Es interesante derivar la solución completa$\tilde{A}^{\mu}(k)$en$k^{\nu}$-espacio de cantidad de movimiento sin fijación de calibre. Las ecuaciones de Maxwell transformadas por Fourier. leer

$$M^{\mu}{}_{\nu}~\tilde{A}^{\nu}(k)~=~\tilde{j}^{\mu}(k), \qquad\qquad M^{\mu}{}_{\nu}~:=~k^2\delta^{\mu}_{\nu} -k^{\mu}k_{\nu}.$$

Para proceder hay que analizar la matriz$M^{\mu}{}_{\nu}$para fijo$k^{\lambda}$. Hay tres casos.

1. modo constante $k^{\mu}=0$. Entonces la matriz$M^{\mu}{}_{\nu}=0$se desvanece de manera idéntica. ecuaciones de Maxwell solo son posibles de satisfacer si$\tilde{j}^{\mu}(k=0)=0$es cero El potencial de calibre$\tilde{A}_{\mu}(k=0)$no está restringida en absoluto por Maxwell eqs., es decir, hay un completo$n$-solución de parámetros.

2. caso masivo $k^2\neq 0$. La matriz$M^{\mu}{}_{\nu}$es diagonalizable con valor propio$k^2$(con multiplicidad$n-1$), y valor propio$0$(con multiplicidad$1$). Este último corresponde a un modo de calibre puro.$\tilde{A}^{\mu}~\propto~k^{\mu}$. La solución completa es una$1$-solución de parámetros de la forma

   $$\tilde{A}^{\mu}(k) ~=~\frac{\tilde{j}^{\mu}(k)}{k^2}~+~ik^{\mu}\tilde{\Lambda}(k).$$ Aparte del término fuente, esto es puro indicador.

3. Caso sin masa $k^2=0$ y $k^{\mu}\neq 0$. La matriz$M^{\mu}{}_{\nu}$no es diagonalizable. Solo hay valor propio$0$(con multiplicidad$n-1$). ecuaciones de Maxwell sólo son posibles de satisfacer si la fuente$\tilde{j}^{\mu}(k)=\tilde{f}(k)k^{\mu}$es proporcional a$k^{\mu}$con algún factor de proporcionalidad$\tilde{f}(k)$. En ese caso, las ecuaciones de Maxwell. convertirse en

   $$-k_{\mu}\tilde{A}^{\mu}(k)~=~\tilde{f}(k).$$ Introduzcamos un$\eta$-doble vector$^1$ $$k^{\mu}_{\eta}~:=~(-k^0,\vec{k})\qquad {\rm for}\qquad k^{\mu}~=~(k^0,\vec{k}).$$ Tenga en cuenta que $$k_{\mu}~k^{\mu}_{\eta}~=~(k^0)^2+\vec{k}^2$$ es simplemente el cuadrado de la distancia euclidiana en$k^{\mu}$-espacio de cantidad de movimiento. La solución completa es una$(n-1)$-solución de parámetros de la forma $$\tilde{A}^{\mu}(k) ~=~-\frac{k^{\mu}_{\eta}}{k_{\nu}~k^{\nu}_{\eta}}\tilde{f}(k) ~+~ik^{\mu}\tilde{\Lambda}(k)~+~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k).$$ El término proporcional a$k_{\mu}$es calibre puro. Aquí$\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)$denotar$n-2$modos transversales, $$k_{\mu}~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)~=~0, \qquad\qquad k_{\mu}^{\eta}~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)~=~0.$$ los$n-2$modos transversales$\tilde{A}^{\mu}_{T}$son el único dof físico que se propaga (ondas electromagnéticas, campo de fotones).

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$^1$Las polarizaciones longitudinales y temporales son, en el caso sin masa, proporcionales a$k^{\mu}\pm k^{\mu}_{\eta}$, respectivamente.

Las ecuaciones se escriben para cualquier tiempo.$t$y no hay necesidad de "probar" su validez en ningún momento. Estas ecuaciones son las leyes experimentales y, por supuesto, son consistentes en cualquier momento. Las restricciones se imponen aquí no a los campos, sino a las cargas eléctricas y magnéticas. Las cargas no tienen fuentes/sumideros por lo que las ecuaciones derivadas como$\partial\rho/\partial t + \rm div \vec{j}=0$decir a saber que y se llaman las leyes de conservación de carga. (Son un hecho experimental.) Las leyes de conservación de carga no determinan la dinámica de carga; para este último existen las ecuaciones "mecánicas". En caso de una carga elemental$q$, su conservación significa su independencia temporal:$\frac{dq}{dt}=0$que generalmente no se escribe como una ecuación adicional, sino que se usa como su solución$q=const$en las ecuaciones "mecánicas".

Entonces tienes seis ecuaciones para campos y dos como leyes de conservación para cargas.

Esto es fácil de ver si usa las ecuaciones de Maxwell para llegar a las ecuaciones de onda no homogéneas y desacopladas para los campos,

$$\begin{split}\Box \vec{E} &= - \mu_0 \frac{\partial \vec{J}}{\partial t} - \vec{\nabla} \frac{\rho}{\varepsilon_0},\\ \Box \vec{B} &= \mu_0\vec{\nabla}\times \vec{J}, \end{split}$$ con $\Box \equiv \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$el dalembertiano. Esta derivación requiere el uso de todas las ecuaciones de Maxwell y existe una solución y se define de forma única si usamos las condiciones de contorno apropiadas, por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell no son independientes.

Un indicio de su dependencia entre sí es el teorema de Helmholtz, siempre que las fuentes estén localizadas. Según el teorema, un campo está definido de forma única si se conocen tanto su divergencia como su rotacional, es decir, el teorema define 3 funciones a partir de 4 ecuaciones dependientes.

Las ecuaciones de Maxwell no sobredeterminan los campos eléctrico y magnético. Esto se vuelve más claro si reescribimos las cuatro ecuaciones de Maxwell en una usando álgebra geométrica:

$$(c^{-1}\partial_t + \vec\nabla)(\vec E + i\zeta\vec H) = \zeta(\rho c +\vec j)$$ , donde los productos vectoriales siguen la identidad de Pauli $\vec a\vec b = \vec a\cdot\vec b + i\vec a\times \vec b$. En principio, podemos invertir la ecuación de Maxwell para resolver el campo electromagnético $\vec E + i\zeta\vec H$, aplicando condiciones de contorno.

Las ecuaciones de Maxwell son efectivamente redondantes, si se trabaja con las variables normales se eliminan las redundancias. Una discusión muy clara se encuentra en:

Fotones y átomos: introducción a la electrodinámica cuántica Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg

Aquí hay una pregunta relacionada que siempre les hago a los estudiantes. En el espacio libre, puede convertir la ecuación de Maxwell en 2 ecuaciones vectoriales de Helmholtz, una para E y otra para B. Entonces, ¿cómo es que están desacopladas? Parecería que podríamos calcular E y B por separado. La pista es que en el espacio libre, para tener campos distintos de cero, debe especificar algunas condiciones de contorno. Y las condiciones de contorno deben ser consistentes con las ecuaciones de Maxwell. Entonces, la naturaleza transversal y acoplada de los campos proviene del BC y se propaga al espacio libre.

Por cierto, para haces finitos, los campos E y B no necesitan ser transversales entre sí (es decir, hay campos longitudinales). Esto hace que trabajar con haces finitos sea mucho más difícil que trabajar con ondas planas no físicas.