¿Por qué necesitamos las leyes de Gauss para la electricidad y el magnetismo?

La fuente de un campo electromagnético es una distribución de carga eléctrica, ρ , y una corriente, con densidad de corriente j . Considerando solo la ley de Faraday y la ley de Ampere-Maxwell:

(1) ∇ × mi = − ∂ B ∂ t y ∇ × B = m 0 j + 1 C 2 ∂ mi ∂ t
En un sistema aislado la carga total no puede cambiar. Así, tenemos la ecuación de continuidad que está relacionada con la conservación de la carga:
(2) ∂ ρ ∂ t = − ∇ ⋅ j
De estas tres ecuaciones, si tomamos la divergencia de ambas ecuaciones en ( 1 ) y usando ( 2 ) en la ley de Ampere-Maxwell, podemos obtener las dos leyes de Gauss para la electricidad y el magnetismo:
(3) ∇ ⋅ B = 0 y ∇ ⋅ mi = ρ ε 0

Por lo tanto, la suposición de ( 1 ) y ( 2 ) implica ( 3 ) . A primera vista, se podría decir que solo necesitamos estas tres ecuaciones. Además, la conservación de la carga parece una condición más sólida que las dos leyes de Gauss (¡es una ley de conservación!), pero, como dice el artículo de Wikipedia, ignorar las leyes de Gauss puede generar problemas en los cálculos numéricos . Esto está en conflicto con la discusión anterior, porque toda la información debe estar en las tres primeras ecuaciones.

Entonces, la pregunta es, ¿cuál es el contenido de información de las dos leyes de Gauss? Quiero decir, además de mostrarnos las fuentes del campo eléctrico y magnético, tiene que haber algo subyacente que requiera la divergencia de los campos. Si no, entonces, ¿cuál es la razón de los resultados inherentemente falsos en los cálculos numéricos mencionados?

(Además, no sé a qué tipo de cálculo se hace referencia en el artículo).

Creo que el artículo se refiere a soluciones numéricas iterativas, que necesariamente no son exactas. Sugiere que los artefactos del algoritmo pueden volverse grandes.
En el libro de texto Novozhilov, Electrodinámica, capítulo 1, se muestra que uno puede tomar las cuatro ecuaciones de Maxwell como punto de partida, o uno puede tomar la ecuación de continuidad y las dos ecuaciones rotacionales de Maxwell, sin embargo, TAMBIÉN debe tomar las dos divergencias de Maxwell. ecuaciones como suposiciones, sin embargo, ahora solo es necesario suponer que deben cumplirse en un instante de tiempo, y uno puede usar las otras ecuaciones para luego mostrar que se cumplirán en todos los momentos posteriores.

Respuestas (3)

No estoy de acuerdo con que consigas obtener la ley de Gauss utilizando el método propuesto. Lo que obtienes en cambio es

∂ ∇ ⋅ B ∂ t = 0 , 1 C 2 ∂ ∇ ⋅ mi ∂ t + m 0 ∇ ⋅ j = 1 C 2 ∂ ∇ ⋅ mi ∂ t − m 0 ∂ ρ ∂ t = 0.
Estas ecuaciones te dan sólo la tasa de cambio de ∇ ⋅ B y ∇ ⋅ mi , pero no su valor, que debe definirse mediante la integración temporal y le da la respuesta hasta una constante dependiente de la posición (cuya derivada temporal es cero). Por ejemplo, la ley de Gauss para la electricidad está dada ahora por
∇ ⋅ mi ( r , t ) = 1 ϵ 0 ρ ( r , t ) + C ( r ) .
Entonces necesitamos una restricción adicional para especificar la función C ( r ) , es decir, la ley de Gauss, que en estos términos se puede escribir como:
C ( r ) = 0.

Entonces, la información de las leyes de Gauss no está contenida en los rizos. Entonces, la sobredeterminación de las ecuaciones de Maxwell no es cierta, ¿no? Leí una de las fuentes del artículo wiki y tiene la siguiente suposición en el caso del tiempo derivado de ∇ ⋅ B : "Si alguna vez en su historia pasada el campo ha desaparecido, esta constante debe ser cero y, dado que uno puede suponer razonablemente que la generación inicial del campo fue en un momento no infinitamente remoto", concluyendo ∇ ⋅ B = 0 . ¿Son estos supuestos "realistas"?
En realidad, las ecuaciones de Maxwell están subdeterminadas, ya que carecen de la descripción de cómo la carga y las corrientes se ven afectadas por los campos, las llamadas ecuaciones materiales . Además, no es necesario justificar estas ecuaciones: se postulan fenomenológicamente, como la ley de la gravedad o las leyes de Newton.

Hay un documento vinculado a la declaración citada en wikipedia. En resumen, el sistema en realidad no está sobredeterminado. Los autores informan que los métodos numéricos, que ignoran las condiciones libres de divergencia, conducen a soluciones inexactas. Muestran que son necesarios para garantizar la unicidad de las soluciones (hay que tener en cuenta las condiciones de contorno).

Este es solo un ejemplo explícito de la respuesta de @vadim: elija una función F ( X → ) , constante en el tiempo, tal que Δ F = 5 . Colocar B → = ∇ → F , mi → = j → = 0 , ρ = 17 . Entonces las Ecs. (1) y (2) se cumplen, pero ambas ecuaciones en (3) no.

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