¿Cómo demostró Newton el principio de equivalencia con péndulos?

Creo que el principio de equivalencia del que estás hablando es el que dice que "la masa inercial es equivalente a la masa gravitatoria".

Cuando tienes un péndulo, la fuerza restauradora es proporcional a la fuerza de la gravedad, y la$\sin$del ángulo entre el péndulo y la vertical. La fuerza de inercia (la masa que resiste la aceleración) depende solo del (masa del) material.

La ecuación de movimiento está dada por

$$m_i \ell \ddot \theta = -m_g g \sin\theta$$

Donde dejo deliberadamente la "masa inercial"$m_i$y la "masa gravitacional"$m_g$como dos términos diferentes.

Para un pequeño ángulo de desviación, donde podemos tomar$\sin\theta \approx \theta$, esta ecuación se puede resolver. Nos da para el período

$$T = 2\pi \sqrt\frac{m_i \ell}{m_g g}$$

Normalmente, lo tomamos como$m_i = m_g$, en cuyo caso la expresión se reduce a la familiar.

Si no hay equivalencia, esperaría que esto apareciera al comparar diferentes materiales (por ejemplo, plomo y plata), si tienen diferentes proporciones para$m_i/m_g$, entonces un péndulo construido de manera idéntica con plomo o plata como la lenteja tendría un período diferente (controlando cosas como el arrastre, que tiene un efecto muy pequeño para una lenteja pesada en una cuerda larga con una pequeña desviación; para eliminar el efecto de diferencia en la resistencia, Newton colocó las diferentes masas en cajas de madera idénticas para que tuvieran exactamente la misma resistencia).

Coloque dos péndulos uno al lado del otro y déjelos ir al mismo tiempo. Observe si permanecen "sincronizados" o si uno se balancea más rápido que el otro. Repita con diferentes materiales.

Encontré una descripción de los experimentos que realmente hizo:

La profunda intuición de Newton fue que esta equivalencia era esencial para comprender las leyes del movimiento, e ideó dos pruebas para ello. Primero, hizo dos péndulos idénticos, cada uno de 11 pies de largo que terminaban en una caja de madera. Uno era una referencia; puso en marcha los péndulos y cronometró la rapidez con la que se separaban sus ciclos. En el otro puso sucesivamente "oro, plata, plomo, vidrio, sal común, madera, agua y trigo". Si se cumple la equivalencia, los tiempos de oscilación deberían ser independientes del material, y lo fueron, mejor que una parte en 1000. Lo suficientemente bueno para el trabajo del gobierno y lo suficientemente bueno para Newton. En segundo lugar, Newton se dio cuenta de que si la Equivalencia es incorrecta, los movimientos de las lunas de Júpiter y del sistema Tierra-Luna en la gravedad del Sol se verían muy alterados. Después de un mayor refinamiento por parte de Pierre-Simon Laplace en 1787,$^7$.

Y la descripción original (de Principia , libro III, proposición VI):

Encontré esto en este sitio que reprodujo esta traducción de 1846 de Andrew Motte).

Imagine un péndulo para el cual la bola al final de la cuerda (de longitud$l$) tendría una masa inercial$m_I$diferente de su masa gravitacional$m_G$. Entonces la ecuación de movimiento sería

$$m_I l \ddot{\theta}=-m_Gg\sin\theta,$$

es decir, en la aproximación de pequeñas oscilaciones

$$\ddot{\theta} + \frac{m_G}{m_I}\frac{g}{l}\theta=0,$$

que da como resultado un movimiento armónico con un periodo

$$T=T_0 \sqrt{\frac{m_I}{m_G}},$$

dónde$T_0$sería el período si el principio de equivalencia fuera cierto,

$$T_0=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Ahora, hacemos varios péndulos usando diferentes materiales para la pelota y los balanceamos juntos. Si$m_I/m_G$varía con el material, los péndulos se desincronizarán. Newton hizo tal experimento y no pudo medir ninguna diferencia entre los periodos de los diferentes péndulos. Como resultado, concluyó que la proporción$m_I/m_G$es el mismo para todos los materiales. No sé a qué precisión podría llegar Newton.