¿Cómo cuantizo una teoría de campo clásica?

En primer lugar, accesorios para saber el uso correcto de la terminología. Me atrevo a decir que la mayoría de los estudiantes de secundaria probablemente piensen que la teoría clásica de campos se trata de escuchar a Mozart en un prado.

Ahora, si puedo empezar por el principio...

Parece que ya lo sabes, pero lo repetiré por razones pedagógicas. Cuando alguien dice que tiene una teoría de campo clásica que quiere cuantificar, eso significa que generalmente tiene una densidad lagrangiana en términos de escalar, calibre, vector, espinor u otro tipo de campo. Además, el lagrangiano generalmente obedece a un tipo de simetría conocido (que ellos conocen) (por ejemplo, invariancia rotacional) y generalmente también tienen las ecuaciones de movimiento para ello. Específico para su ejemplo, la ley de Gauss para la gravedad es la ecuación de movimiento para la densidad lagrangiana de la gravedad newtoniana (Wikipedia puede proporcionar esta ecuación). En este Lagrangiano, el campo escalar$\phi$es el componente importante, no un campo de gravedad.

Ahora, asumiendo que un físico tiene una teoría de campo clásica, uno de los métodos estándar para cuantificarla (promoverla a una teoría de campo cuántica) es la siguiente:
1. Resolver para una solución de caso general a$\phi$si es posible, esto facilita mucho el proceso.
2. Escribe el operador$\phi$en términos de operadores de aniquilación y creación (llamémoslos$a_k$y$a_k^\dagger$respectivamente).
Como ejemplo, si logré encontrar una solución general para mi$\phi$era:

$$\phi(x)=e^{ikx}+e^{-ikx}$$ Entonces podría reescribirlo como: $$\phi(x)=A(a_ke^{-ikx}+a_k^\dagger e^{ikx})$$ 3. Imponer las relaciones canónicas de (anti-)conmutación a la teoría. Si la teoría está escrita usando bosones (y creo que la tuya lo está), entonces usa conmutadores. Si usa fermiones, entonces use anticonmutadores. Para tu caso, las relaciones canónicas de conmutación deberían ser:

$$[\phi_a(\mathbf x),\Pi_b^0(\mathbf y)]~=~i\delta_{ab}\delta^3(\vec x-\vec y)$$ $$[a_{k},a_{k'}^\dagger]~=~\delta^3(\vec k-\vec k')$$

Cuando digo "imponer estas relaciones", lo que quiero decir es que en el paso 2, debe colocar los coeficientes de normalización (coeficientes como "A" que se usan simplemente para obtener el resultado correcto en el paso 3) delante de los términos del operador de creación y aniquilación. Luego, al imponer las relaciones, debe establecer LHS = RHS y resolver estos coeficientes de manera que las relaciones se mantengan. Es importante notar que estos coeficientes no necesitan ser constantes, solo que sean números c (no funciones de x ni operadores). De hecho, uno de los coeficientes más básicos termina con un$\omega_k$en él, que es una función de la cantidad de movimiento, k.

¡Entonces ya está! Si puedes hacer los pasos 2 y 3, entonces tu teoría resultante es una teoría cuántica de campos. Estoy seguro de que otros me harán saber que me he perdido uno o dos métodos. Si se te ocurre algo que se me haya olvidado, házmelo saber y lo añadiré.

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Se ha señalado que (de alguna manera) olvidé mencionar el método de formulación de la integral de trayectoria para cuantificar una teoría. Este es un método conceptualmente más difícil que requiere una comprensión más avanzada (es decir, una formación formal) de la física teórica. No incluyo una descripción completa aquí porque no quiero aumentar demasiado el nivel de complejidad de esta respuesta. En general, se encuentra que la integral de ruta funciona mejor que la que enumeré, pero ciertamente no es tan sencilla (discutible). También es inherentemente relativista, lo cual es una ventaja sobre el método más básico (a menos que pretenda agregar la relatividad más adelante).

"Soy un estudiante de secundaria, de 14 años, que estudia física por su cuenta"

Sí, yo también estaba allí, haciendo ese tipo de cosas, a esa edad. Ya no tienes 14, sino 22 o 23 al momento de escribir. Entonces, ahora tenemos una mejor perspectiva y podemos abordar este asunto de manera más convincente.

"Actualmente estoy tratando de crear una teoría cuántica de campos, como parte de mi plan para crear una posible teoría de la gravedad cuántica, agregando las correcciones relativistas más adelante".

Tienes que preocuparte más por cómo haces realmente ese segundo paso, ¡no el primero! No existe una versión no relativista conocida de la Relatividad General presentada en forma de una teoría de campo Lagrangiana cuyo Lagrangiano sea el límite no relativista de las Lagrangianas de Einstein-Hilbert o Einstein-Cartan o cualquiera de las otras utilizadas para la Relatividad General o sus variantes. . Y puede muy bien ser imposible que haya alguno.

Además, cuantificar la teoría no relativista de la gravedad como un campo híbrido (para la gravedad) y la mecánica (para las partículas) también se va a estrellar. Todavía tienes el problema de la divergencia: cada partícula experimenta su propio potencial de gravedad como una fuerza propia. Y todavía tiene los mismos problemas con la "resta infinita" para tratar de idear alguna forma consistente no ad hoc para dar cuenta de ello. Ese es el mismo problema que tienes para cualquier teoría cuántica de campos, no importa una teoría cuántica de la gravedad. Entonces, no te estás escapando de nada. Te perseguirá y te perseguirá, incluso hasta la gravedad newtoniana.

Podría hacer trampa y tratar el sistema híbrido combinado como pura mecánica, con el "potencial" reducido a coordenadas de partículas, pero entonces estaría perdiendo el punto central del ejercicio... a menos que de alguna manera encuentre una manera de reemplazar las teorías de campo. por teorías mecánicas basadas en partículas en Relatividad (y haz que eso sea lo que 'corregirás de forma relativista'); pero la dinámica pura de partículas en la Relatividad también se ve acosada por varios obstáculos, como el Teorema de Leutwyler.

En cuanto a las teorías de campo, existe la gravedad de Newton-Cartan, pero está formulada en términos de ecuaciones de campo, una que está muy mal ensamblada, en lugar de en términos de cualquier principio de acción. Y está incompleto: no existe una ley de campo o una dinámica para la densidad de masa en sí.

Una teoría de campos se cuantifica sólo cuando se formula primero en términos de un principio de acción. Nunca se han hecho intentos de llegar a una teoría de campo lagrangiana de la gravedad newtoniana, tanto como una teoría de la gravedad como de la dinámica de fluidos. Recuerde: las ecuaciones de Einstein para la Relatividad General incluyen tanto la ley de la gravedad como la dinámica de fluidos en ellas, siendo efectivamente una formulación de la dinámica de fluidos, en sí misma, en presencia de la gravedad, con la gravedad representada cronogeométricamente como una deformación del espacio. -tiempo continuo (con la mayor parte del efecto que sentimos como la gravedad es una deformación de la dimensión del tiempo).

Cuando colocas Newton-Cartan y la Relatividad General uno al lado del otro y tratas de hacer coincidir las partes, no coinciden en absoluto; y no hay dinámica de fluidos en Newton-Cartan en absoluto.

La razón principal de la discrepancia es que existe una discrepancia aún más profunda entre la física relativista y la no relativista (en la forma en que se formulan actualmente) que parece bloquear cualquier perspectiva de "comenzar con la teoría no relativista, agregar la teoría relativista". correcciones más tarde". El término preciso para ese último paso se llama "deformación", y el lugar para abordar esto es lo que se conoce como teoría de la deformación.

Es muy probable que una o ambas teorías no se hayan formulado del todo bien, ya que se pierden en la dirección de avance como una "deformación" o en la dirección de retroceso como un "límite no relativista". Es necesario agregar algo más a cada uno; que, en el caso de la física no relativista, significa "retro-agregado"; para que se alineen bien.

La física no relativista supuestamente se rige por el grupo de simetría conocido como el Grupo de Galileo, mientras que la física relativista se rige por el grupo de Poincaré y su versión homogénea, el grupo de Lorentz. La Relatividad General en realidad no incorpora ninguno en su formulación, per se; por ejemplo, algunas soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein pueden permitir que cambie la firma del espacio-tiempo, de modo que un espacio-tiempo local de Minkowski en una región esté conectado a través de una superficie singular a un espacio atemporal localmente euclidiano de 4 dimensiones en otra - la "firma soluciones "cambiantes".

Históricamente, la Relatividad General se formuló sobre la acción de Einstein-Hilbert, que vive en una geometría pseudo-Riemanniana, pero en realidad es agnóstica sobre cuál es la firma de la geometría subyacente.

Se puede formular sobre una geometría de Riemann-Cartan, que incorpora directamente una versión localizada del grupo de Lorentz. Eso lleva a la teoría de Einstein-Cartan, si se usa la acción de Einstein-Cartan, o a la propia Relatividad General reformulada en geometrías de Riemann-Cartan usando la acción de Palatini en lugar de la acción de Einstein-Hilbert. Por lo tanto, cualquiera de estos, o algo similar o compatible hacia arriba, es lo que debe buscar con la "corrección relativista de (...)".

La principal discrepancia es que para la teoría no relativista, el grupo no homogéneo de Galilei no es en absoluto el límite no relativista del grupo de Poincaré; aunque el grupo homogéneo de Galilei es el límite del grupo de Lorentz, y el grupo de Lorentz puede presentarse como una deformación del grupo homogéneo de Galilei.

Parte de esto se debe a que el grupo de simetría correcto para la teoría no relativista no es ni el grupo homogéneo ni no homogéneo de Galilei, sino el grupo de Bargmann, que es la "extensión central" del grupo no homogéneo de Galilei. No tiene el grupo de Poincaré como una deformación, sino una extensión central trivial de Poincaré, como uno.

El remate principal es que mientras que la geometría naturalmente asociada con los grupos de Lorentz y Poincaré es la geometría de Minkowski de 3+1 dimensiones, la geometría asociada con Bargmann es de 4+1 dimensiones (la geometría de Bargmann). Tienes un desajuste total aquí.

La forma más directa de ver esto es que mientras los 3 componentes del momento y de la energía total - o 4 componentes en total - se transforman juntos en la Relatividad como un 4-vector bajo Lorentz o Poincaré, en la teoría no relativista, usted no tiene nada de "energía total", sino que solo tiene energía cinética y masa. Son 5 componentes, en total, no 4. Se transforman juntos, bajo Bargmann como un vector de 5.

No se puede deformar esto a ninguna versión "relativista", excepto tratando la energía cinética y la masa, una vez más, como componentes independientes, aunque continúan teniendo transformaciones no triviales entre sí bajo Lorentz o Poincaré... pero ahora como componentes de un 5-vector.

Todo esto es fundamental para toda la empresa de definir un "tensor de tensión". Si alinea los componentes en el tensor de estrés en una matriz, las filas le dan los componentes para la versión continua de cada uno de los elementos anteriores. Entonces, en Relatividad, la fila superior serían los 4 componentes para una "corriente de energía", y cada una de las siguientes tres filas serían los 4 componentes para cada uno de los componentes de la "corriente de impulso". Esa es una matriz de 4 x 4 en total.

Para la teoría no relativista, tendrías 5 filas. Para hacer que la matriz sea simétrica, como debería ser el tensor de tensión, también debe tener 5 columnas, lo que significa 5 coordenadas. Esa es una matriz de tensor de tensión de 5 x 5. La fila superior es para la densidad de masa y le proporciona la ecuación de equilibrio de la dinámica de fluidos. Las siguientes tres filas son para cada uno de los tres componentes del impulso, lo que le proporciona las tres ecuaciones de equilibrio para la densidad del impulso. Finalmente, está la fila inferior que te da la densidad de la energía cinética.

Es bastante posible tomar la versión de 4+1 dimensiones de la acción de Einstein-Hilbert en una geometría local de Bargmann, o sus versiones geométricas de Riemann-Cartan (una acción de Palatini o de Einstein-Cartan de 4+1 dimensiones). Luego, se deben imponer restricciones adicionales para reducir los resultados a la gravedad newtoniana, al tiempo que se conserva cierta capacidad para deformar eso en una versión relativista de la relatividad general; pero ahora con su geometría espacio-temporal incrustada en 4+1 dimensiones. Sin embargo, incluso con todo eso, todavía sigue habiendo un desajuste.

Lo más cerca que he visto de lograrlo es "Estructuras de Bargmann y teoría de Newton-Cartan", de Duval, Burdet, Künzle y Perrin en Physical Review D 31 (8), 14 de abril de 1985. No es de acceso abierto, tienes que vaya a la biblioteca para obtenerlo o inicie sesión en una máquina en un campus que lleve el diario.

Para citarlos, al principio de su sección "VI. Ecuaciones de campo de Newton": "Curiosamente, las ecuaciones de campo de Newton [...] no pueden derivarse fácilmente de una densidad lagrangiana de espacio-tiempo específica. Simplemente parece que podría existir alguna obstrucción puramente geométrica a la existencia de un problema variacional bien definido en la imagen de cuatro dimensiones".

La reformulación de una geometría de Bargmann local a seguir ayuda, o como dicen "Mostraremos aquí que la introducción de estructuras de Bargmann mejora la situación", pero no resuelve del todo el problema. Todavía hay algo más que falta; y creo que ese elemento adicional que falta está en el lado de la relatividad del desajuste, no en el lado newtoniano. Es decir: es posible que en realidad no tengamos la versión completa de lo que debería ser la teoría relativista correcta, sino solo una versión reducida y restringida de lo que debería ser.