Límites de la Relatividad General y la Física Cuántica

Tienes un malentendido con la palabra "régimen".

Para predecir la órbita de la Tierra alrededor del Sol no puedes usar la Mecánica Cuántica (QM) o sus versiones modernas, porque sería como intentar medir la masa de una manzana con un termómetro. La órbita de los planetas es un fenómeno gravitacional y, por lo tanto, necesita utilizar una teoría de la gravitación para resolverlo, ya sea la gravedad newtoniana, la relatividad general (GR) o cualquier otra teoría gravitatoria que desee.

QM no es una teoría de la gravitación, no explica cómo funciona la gravedad. De la misma manera, usar GR para predecir el movimiento de un electrón no tiene en cuenta todas las propiedades electromagnéticas (y débiles) del electrón y, por lo tanto, no es una buena descripción.$^1$

Lo que la gente suele querer decir cuando dice que "no se puede usar la mecánica cuántica y la relatividad en regímenes particulares" es que en la mayoría de las situaciones complejas$^2$los efectos gravitatorios no importan cuando lo hacen los efectos cuánticos, y viceversa. El electrón es un buen ejemplo: su diminuta masa significa que sus efectos gravitatorios serán diminutos en comparación con los efectos cuánticos que explican cómo se mueve el electrón. Este es un "buen régimen" porque QM funciona (y no tenemos forma de ver si GR funciona para el electrón). El movimiento planetario es otro "buen régimen" porque GR funciona (y no tenemos forma de verificar QM allí).
Los "malos regímenes" son aquellos en los que el efecto GR y QM juegan un papel importante para resolver el problema, como lo que sucede alrededor de los agujeros negros o lo que sucedió instantes después del Big Bang . Por último, para responder a su pregunta, en estos regímenes, no puede usar QM porque no es una teoría de la gravitación, y puede...

1. como señaló el comentario, he usado "QM" incorrectamente, cuando realmente me refería a teorías cuánticas como QED, QCD o el modelo estándar, porque eso es lo que generalmente se entiende en el infame debate "QM vs GR"

2. con "complejo" quiero decir donde están presentes tanto las fuerzas gravitatorias como las electrodébiles fuertes

"Cuántico" y "relativista" son propiedades de una teoría.

Para describir la órbita de un electrón alrededor de un núcleo, necesitas una teoría de la electrodinámica. No tiene que ser relativista, pero si lo es, obtienes una mejor respuesta. Tampoco tiene que ser cuántico, pero si lo es, obtienes una mejor respuesta.

Para describir la órbita de la Tierra alrededor del Sol, necesitas una teoría de la gravitación. Tener en cuenta la relatividad conduce a una predicción más precisa, pero esta vez no se sabe cómo dar cuenta de la mecánica cuántica. En palabras de Scott Aaronson , la gravedad aún no se ha portado al sistema operativo cuántico.

Considere si tuviéramos que predecir la órbita de la Tierra alrededor del Sol usando la mecánica cuántica.

Contrariamente a algunas de las otras respuestas, no hay una objeción fundamental para hacer esto. La mecánica cuántica se ha probado en situaciones en las que interviene la gravedad. Por ejemplo, la gente ha observado patrones de interferencia de dos caminos para neutrones que han viajado a través de un campo gravitatorio. QM en realidad no tiene ningún problema al tratar con la gravedad en el régimen de campo débil, es decir, la gravedad newtoniana. Si la gravedad cuántica fuera necesaria en tales situaciones, hace décadas que hubiéramos estado en posesión de los datos empíricos necesarios para comenzar a esbozar una teoría de la gravedad cuántica. Los experimentos de interferencia de neutrones, por ejemplo, nos habrían mostrado algo interesante e incompatible con la QM estándar. ¿No hubiera sido agradable?

Para el problema que planteas, la solución es conocida y no presenta ningún problema. La gente ya ha estudiado el movimiento semiclásico en el átomo de hidrógeno. Los experimentos y la teoría involucran superposiciones coherentes muy especialmente preparadas de estados con grandes números cuánticos. (En un nivel más elemental, un ejemplo de libro de texto bastante estándar es mostrar cómo se pueden usar los estados n altos del oscilador armónico unidimensional para recuperar el movimiento de un oscilador armónico clásico). Entonces, si toma la teoría mecánica cuántica de estos estados semi-clásicos en el hidrógeno y solo cambia la constante de acoplamiento, tienes una teoría que predice correctamente la órbita de la tierra.

JohnDoty dice:

No hay ningún problema particular en usar GR para determinar la curvatura del espacio-tiempo y luego usar QM para determinar el efecto de eso en las ondas de materia. Hágalo por la Tierra y obtendrá trivialmente el mismo resultado que un cálculo GR puro porque la longitud de onda es insignificante.

Pero esto ni siquiera es necesario, por ejemplo, al analizar los experimentos de interferencia de neutrones, nadie hizo nada ni remotamente tan sofisticado. Simplemente usaron la ecuación de Schrödinger con el potencial gravitacional. Es física de primer año.

De manera similar, si tuviéramos que predecir la órbita de un electrón alrededor de un núcleo usando la relatividad.

Así que ahora regresemos a los estados que no son estados semiclásicos, sino el tipo de estados con los que normalmente tratamos en los espectros solares, etc., estados con energías definidas y valores de n hasta aproximadamente 5 o 10. Para estos estados, no existe tal cosa como una órbita. Esto es porque$\Delta p\Delta x$no es grande en comparación con la constante de Planck. Es posible que haya visto material confuso en la cultura pop, diagramas en libros de texto de química, discusiones históricas del modelo de Bohr, etc., en los que se representa a los electrones viajando en órbitas circulares, pero los círculos están restringidos a ciertos radios. Esto está mal.

Puede usar QM más relatividad especial para describir estos estados, y eso funciona muy bien (pero no existe tal cosa como una órbita). No puedes usar la relatividad general para predecir órbitas atómicas, porque no hay órbitas y porque GR es una teoría que se limita muy específicamente a la fuerza gravitacional. GR describe el movimiento de una partícula en un campo gravitacional como una geodésica, que es el equivalente de una línea recta en un espacio-tiempo curvo. Este truco de geometrizar el problema solo funciona para la gravedad, porque solo para la gravedad tenemos el principio de equivalencia.

La respuesta aceptada por Mauro Giliberti dice:

Para predecir la órbita de la Tierra alrededor del Sol no puedes usar la Mecánica Cuántica (QM) o sus versiones modernas, porque sería como intentar medir la masa de una manzana con un termómetro. La órbita de los planetas es un fenómeno gravitacional y, por lo tanto, necesita utilizar una teoría de la gravitación para resolverlo, ya sea la gravedad newtoniana, la relatividad general (GR) o cualquier otra teoría gravitatoria que desee. [...] QM no es una teoría de la gravitación, no explica cómo funciona la gravedad.

Esto es completamente incorrecto, por las razones dadas anteriormente. Este es un buen ejemplo de por qué es una mala idea en SE aceptar una respuesta sin esperar un rato.

ConnorBehan dice:

Tener en cuenta la relatividad conduce a una predicción más precisa, pero esta vez no se sabe cómo dar cuenta de la mecánica cuántica. En palabras de Scott Aaronson, la gravedad aún no se ha trasladado al sistema operativo cuántico.

De nuevo, totalmente equivocado. Los problemas surgen solo para la gravedad de campo fuerte.

No hay ningún problema particular en usar GR para determinar la curvatura del espacio-tiempo y luego usar QM para determinar el efecto de eso en las ondas de materia. Hágalo por la Tierra y obtendrá trivialmente el mismo resultado que un cálculo GR puro porque la longitud de onda es insignificante.

El choque entre GR y QM proviene de intentar interpretar la curvatura del espacio-tiempo como consecuencia de un fenómeno cuántico.

De manera similar, si tuviéramos que predecir la órbita de un electrón alrededor de un núcleo usando la relatividad. Pero, ¿por qué no funciona esto?

Porque funciona. Esto se llama QED. Pruebe la ecuación de Dirac .

El límite de toda la física es la medición por un lado (experimental) y las matemáticas por el otro (teórico).

"Considere si tuviéramos que predecir la órbita de la Tierra alrededor del Sol usando la mecánica cuántica. De manera similar, si tuviéramos que predecir la órbita de un electrón alrededor de un núcleo usando la relatividad. Pero, ¿por qué no funciona esto? ¿Puede alguien quizás mostrarme un derivación de algo como lo que mencioné que muestra cómo estas teorías no funcionan en estos regímenes?"

En cuanto a la órbita de la Tierra, si cree que la segunda ley de Newton es capaz de describir esto con precisión, entonces le alegrará mucho saber que la segunda ley de Newton se puede derivar de la ecuación de Schroedinger (es decir, de una teoría mecánica cuántica).

En cuanto a la órbita de un electrón alrededor de un núcleo, la relatividad especial se usa para describir la interacción de un electrón con un núcleo, si desea obtener los resultados más precisos (compare, por ejemplo, la ecuación relativista de Dirac en la mecánica cuántica, versus la simple ecuación no relativista de Schroedinger). ecuación).

En cuanto a la relatividad general, es una teoría de la gravitación, no una teoría del todo. La relatividad general no se usaría para describir otras cosas no mecánicas cuánticas, por ejemplo, no usaría la relatividad general para calcular la corriente en un circuito eléctrico que tiene un cierto voltaje y resistencia, usaría la ley de Ohm que es$V=IR$. De manera similar, la relatividad general no se usa para describir la órbita de un electrón alrededor de un protón, en gran parte porque los efectos gravitatorios no son necesarios para describir este fenómeno en ningún régimen experimental relevante (la gravedad entre dos partículas extremadamente ligeras es extremadamente débil y su efecto se espera que sea docenas de órdenes de magnitud más pequeña para esta interacción que cualquier cosa que podamos detectar en un experimento ).

El problema no es describir cosas como la órbita de la Tierra con mecánica cuántica o la órbita de un electrón con relatividad: no se necesita nada de mecánica cuántica para describir la órbita de la Tierra a menos que desee conocer algunos detalles extremadamente menores sobre la órbita que son órdenes de magnitud más pequeños que cualquier cosa que podamos medir, y no se necesita nada relativista general para describir el movimiento del electrón alrededor de un núcleo, ya que el efecto de la gravedad sería órdenes de magnitud más pequeño que cualquier cosa que podamos medir. El problema es cuando te encuentras con una situación en la que necesitas tanto la mecánica cuántica como la relatividad general al mismo tiempo, como cuando se describe la radiación de Hawking de un agujero negro.