¿Cómo construir un isomorfismo entre el Grupo de Mentira Lineal Especial Complejizado y el Grupo Unitario Especial? [duplicar]

Esta puede ser una pregunta poco esclarecedora, pero no estoy seguro del resultado y espero que alguien pueda ayudarme a variarlo.

$\\$

Esta pregunta está relacionada con estas tres preguntas .

$\\$

Quiero construir la relación de isomorfismo entre los Grupos de Lie $SL(2,\mathbb{C})$y$SU(2)$. Tengo la sensación de que debería haber algún tipo de isomorfismo de grupos.

$\\$

Para empezar, sabemos que como Lie Algebras

$$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \simeq \mathfrak{so}(1,3)$$

y

$$\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2) \simeq \mathfrak{o}(4)$$

Pero también sabemos que

$$\mathfrak{so}(n) \simeq \mathfrak{o}(n)$$

así que creo que esto nos permite escribir

$$\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2) \simeq \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$

Esto tiene sentido de todos modos, ya que sabemos que el álgebra real de la complejización de$\mathfrak{su}(2)$es$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$, y al tomar el álgebra real del álgebra de Lie complejizada obtenemos dos copias conmutadas.

Entonces, la parte que aún no me convence es cómo pasar de esta relación entre álgebras a una relación entre grupos.

Alguien en el departamento me dijo que

Teorema El teorema fundamental de los grupos de lie: Sea$G_1$,$G_2$ser grupos de mentira. Entonces$G_1$y$G_2$tienen álgebras de Lie isomorfas si y solo si son localmente isomorfas.

Así que esta es solo una declaración local.

Además, dijo que hay una extensión de este teorema a un enunciado global que dice que los grupos de Lie son globalmente isomorfos si están simplemente conectados.

Ahora, para nuestros dos grupos,$SL(2,\mathbb{C})$y$SU(2)$, sabemos que, de hecho, están simplemente conectados. Podríamos probar esto, o en su lugar, recordar que son los Grupos Cobertores Universales de$SO(1,3)\uparrow$y$SO(3)$respectivamente, por lo que, por definición, deben estar simplemente conectados.

Esto resolvería nuestro problema, y ​​podríamos escribir

$$SU(2) \times SU(2) \simeq SL(2,\mathbb{C})$$

y listo

$\\$

Sin embargo, quiero tratar de verificar esa declaración, en lugar de tomarla con fe ciega (no es que tenga ninguna razón para dudarlo, sino que me gustaría 'aprenderlo' en lugar de 'ser consciente de ello') , Si eso tiene sentido).

$\\$

Intenté buscarlo, y la fuente obvia no tenía nada sobre un Teorema fundamental de los grupos de mentiras, solo un poco sobre El tercer teorema de la mentira .

Algunas búsquedas trajeron estas notas de conferencias (en formato .pdf) de UCLA. Parece estar llegando a lo que quiero, pero desafortunadamente está escrito en lenguaje teórico de categorías, del cual no sé nada.

$\\$

¿Alguien podría verificar por mí si esto es correcto, y tal vez indicarme un libro/sitio web/notas de conferencias, etc. donde podría hacer referencia? (Nuestra biblioteca es enorme, por lo que un libro en línea no tiene por qué ser una limitación).

$\\$