Representaciones matriciales de 10 y 15 dimensiones de SU(5)SU(5)SU(5): generadores explícitos de álgebra de 24 mentiras

1. Para simplificar, hagamos un bosquejo de cómo va la construcción para el grupo de Lie$U(5)$y dejar que el lector lo modifique para$SU(5)$.

2. OP está interesado en realizar las representaciones grupales.

   $${\bf 10}~:=~{\bf 5}\wedge{\bf 5}~=~\begin{array}{r} [~~]\cr [~~] \end{array} \qquad\text{and}\qquad {\bf 15}~:=~{\bf 5}\odot {\bf 5}~=~[~~]~[~~],\tag{1}$$ dónde${\bf 5}=[~~]$denota la representación definitoria/fundamental de$U(5)$. (NB: en esta respuesta a menudo identificamos una representación con su espacio vectorial ).

3. Juntos forman una representación tensorial reducible de 25 dimensiones

   $${\bf 25}~:=~{\bf 5}\otimes{\bf 5}~=~{\bf 5}\wedge{\bf 5}~\oplus~{\bf 5}\odot{\bf 5}. \tag{2}$$ Aquí$\otimes$denota el producto tensorial estándar (no simetrizado) .

4. Explícitamente, la representación tensorial

   $$R:~ U(5)~\to~ {\rm End}({\bf 5}\otimes{\bf 5}),\tag{3}$$ se da como $$R(g)(\sum_iv^i_L\otimes v^i_R)~=~\sum_igv^i_L\otimes gv^i_R ,\tag{4}$$ dónde $$g\in~ U(5), \qquad v^i_L,v^i_R~\in~{\bf 5}.\tag{5}$$

5. La correspondiente representación del álgebra de Lie

   $$r:~ u(5)~\to~ {\rm End}({\bf 5}\otimes{\bf 5}),\tag{6}$$ se da como $$r(x)(\sum_iv^i_L\otimes v^i_R)~=~\sum_ixv^i_L\otimes v^i_R + \sum_iv^i_L\otimes xv^i_R,\tag{7}$$ dónde $$x\in~ u(5), \qquad v^i_L,v^i_R~\in~{\bf 5}.\tag{8}$$ Al elegir una base para${\bf 5}$, entonces, en principio, es posible calcular un$25\times 25$representación matricial de los elementos básicos del álgebra de Lie$u(5)$.

6. Las representaciones tensoriales (3) y (6) respetan la división (2) en las representaciones buscadas de OP (1). Esta es, en principio, la respuesta a la pregunta de OP.

7. Por otro lado, OP considera el álgebra de Lie de 25 dimensiones

   $$u(5)=u(5)_A\oplus u(5)_S \tag{9}$$ de anti-hermitiano$5\times 5$matrices, que se separa en un subespacio de 10 dimensiones$u(5)_A$de matrices antisimétricas reales y un subespacio de 15 dimensiones$u(5)_S$de matrices simétricas imaginarias.

8. La representación adjunta

   $${\rm Ad}: ~U(5)~\to~ {\rm End}(u(5)),\tag{10}$$ es dado por $$\begin{align} {\rm Ad}(g)x~:=~&gxg^{-1}, \cr g~\in~&U(5), \qquad x~\in~u(5),\end{align}\tag{11}$$ actúa sobre el álgebra de Lie$u(5)$, pero no respeta el desdoblamiento (9).

Desafortunadamente, a pesar de mi casi promesa en la pregunta que cita, no conozco una fuente que calcule estos conjuntos voluminosos de matrices extraordinariamente escasas de 24 10 × 10 y 15 × 15. Lo mejor que pude hacer es ilustrar para usted la respuesta compacta de @Qmechanic (2) y asegurarme de que la visualice como yo lo hago (y todos deberían, podría decirse).

usaré tu$\lambda_1$como ejemplo del generador 5×15 en su normalización no estándar,$A_1$para el correspondiente de 10×10, y$S_1$para el de 15×15. Pero, ¡ay!, ni siquiera llegaré a calcularlos, sino solo el coproducto reducible de 25 × 25,$A_1\oplus S_1$,

Mi convención para los productos tensoriales es "de derecha a izquierda", es decir, los vectores/matrices del factor tensorial derecho multiplican las entradas numéricas del vector/matriz izquierdo.

El coproducto anterior es una matriz de bloques sencilla , donde escribo los bloques de 5 × 5 de forma compacta, simbólicamente,

Como se ilustra en ambas respuestas a la${\mathfrak su} (2)$ejemplo de su elección , una transformación de Clebsch de similitud ortogonal efectúa un cambio de base de esta base desacoplada a la base acoplada ,

¿Cómo actúa esta matriz de coproducto en un vector de muestra simple (¡demasiado simple!)? Escribamos los vectores de columna como transpuestas de vectores de fila para ahorrar espacio:

Ahora, observa$v\otimes w + w\otimes v$se transforma igual que arriba bajo$\Delta(\lambda_1)$, y está en el 15 ; mientras que el$v\otimes w - w\otimes v$en el 10 está en el núcleo de$\Delta(\lambda_1)$; eso es lo que hace que el ejemplo sea demasiado simple. En la base acoplada, estaría en el núcleo de$A_1$.

$A_1$es, por supuesto, no trivial para su (5). Si hubiéramos tomado el desorden$u\equiv [0,0,1,0,0]^T$en lugar de w , habríamos documentado una acción no trivial.

Estos ejercicios de visualización con los dedos pueden o no ser útiles en su proyecto.