¿Cómo combinar estas ecuaciones de restricción?

Quiero modelar un sistema no holonómico de un disco giratorio arbitrario en 3D, que rueda sin deslizarse y no tiene que permanecer vertical. (piense en girar un centavo sobre la mesa) Quiero usar el método que acabo de aprender de los multiplicadores de Lagrange con las ecuaciones de Euler-Lagrange para resolver el sistema.

Puedo parametrizar el sistema en términos de$(x,y,\theta,\phi,\psi)$, y puedo llegar a varias ecuaciones de restricción si permito que dos (o tres, con$(x,y)$cambiando como un par) las variables cambian a la vez y mantienen constantes a las demás. Estoy usando Mathematica para poder permitirme tener representaciones desagradables e integrales dolorosas.

quise$(x,y)$que representa la posición del centro del disco en el plano horizontal,$\theta$que representa el ángulo de$(x,y)$hasta el punto donde el disco toca el suelo,$\phi$que representa el ángulo desde el plano xy hasta el centro real (x,y,z) del disco (entonces, si$\phi=0$el disco es plano, y si$\phi=\pi/2$el disco es vertical), y$\psi$que representa el ángulo del disco alrededor del eje normal a su cara. Terminé con la siguiente transformación lineal, que lleva un punto estacionario en el espacio del disco al espacio mundial:$T(x,y,r \sin(\phi)) R_{xy}(\theta)R_{xz}(-\phi) R_{xy}(\phi) \vec{v}$

(dónde$T$es una traducción,$R_{xy}$es una rotación en el plano xy, etc.)

Esto funciona perfectamente y puedo llegar a la energía cinética en términos de$x,\dot{x}, y,\dot{y},\phi, \dot{\phi}$etc.

Ahora, donde entra la parte no holómica, necesito encontrar las ecuaciones de restricción. La única restricción es rodar sin resbalar. Puedo encontrar ecuaciones con derivadas parciales (digamos, dejo que x e y varíen a medida que cambio$\psi$y mantenga todas las demás variables constantes), pero estas son solo restricciones parciales y no representan los verdaderos diferenciales que rigen las restricciones. ¿Cómo puedo encontrar los verdaderos diferenciales? Mis conjuntos de ecuaciones son:

1 Girar el disco normal a su cara (exactamente como girar una rueda)

$\frac{\partial x}{\partial \psi} =-r \sin (\theta ), \frac{ \partial y}{\partial\psi }=r \cos (\theta )$

2 giratorios$\theta$, el punto donde el disco toca el suelo, sin cambiar x, y o$\phi$.$psi$debe cambiar de acuerdo a:

$\frac{\partial\psi}{\partial\theta} =-\cos (\phi )$

3 Cambiando el ángulo vertical del disco,$\phi$, y tener el punto de contacto siendo el mismo (así como$\theta$,$\psi$constante),$x$y$y$debe cambiar de acuerdo a:

$\frac{\partial x} {\partial\phi} =-r \cos (\theta ) \sin (\phi ), \frac{ \partial y} {\partial\phi} =-r \sin (\theta ) \sin (\phi )$

¿Cómo puedo combinar estas ecuaciones en diferenciales completos para usar en multiplicadores de Lagrange con las ecuaciones de Euler-Lagrange?

Visualizaciones animadas

Solo para mostrar qué significan los parámetros y qué significan las ecuaciones de restricción en caso de que haya algo técnicamente incorrecto:

(las animaciones parecen congelarse. Si una no se mueve, intente arrastrarla a una nueva pestaña)

Ajuste de los parámetros en la ecuación de transformación:

Aplicando la restricción parcial 1 para visualizar rodar sin deslizarse

Visualización de la restricción parcial 2

Restricción de visualización 3

nota: soy bastante nuevo en la mecánica lagrangiana, en el capítulo dos de la mecánica clásica de Goldstein, pero no veo una razón por la que no pueda aplicar todo lo que he aprendido (solo lo que he mencionado) a este problema.