¿Cómo calcular la velocidad del sonido en hidrodinámica relativista?

Querido asmaier, a veces es útil mirar el mundo real para evitar algunos errores simples. La velocidad real del sonido en el aire es de 340 metros por segundo, que es aproximadamente una millonésima parte de la velocidad de la luz. La velocidad del sonido al cuadrado es una trillonésima parte de la velocidad de la luz al cuadrado, por lo que su afirmación de que la velocidad del sonido no relativista es comparable a la velocidad de la luz seguramente es incorrecta, ¿no es así?

La primera fórmula de Weinberg que citaste es universalmente válida pero la aplicas incorrectamente. Bueno, Weinberg no comete estos errores para que su primera$\sqrt{1/3}$El resultado para el gas relativista también es correcto. Sin embargo, en particular,$(\rho-nm)$se supone que mide la energía por encima de la energía latente de$E=mc^2$, porque solo esta "energía puramente cinética" contribuye a la presión; todavía debe ser multiplicado por$(\gamma-1)$.

Claramente,$(\rho-nm)$es despreciablemente pequeño en el límite no relativista. Entonces tus$c\sqrt{2/3}$porque la velocidad no relativista del sonido es claramente inválida. De hecho,$(\rho-nm)$mide la energía cinética de las moléculas,$mv^2/2$; el factor de$m$cancela Porque se diferenciará y multiplicará por$(\gamma-1)$, y sacamos la raíz cuadrada al final, puede ver que la velocidad del sonido es aproximadamente igual a la velocidad de las moléculas en el aire, solo un poco más pequeña que eso (principalmente debido al factor de$1/2$en la energía cinética$mv^2/2$).

Recuerde que la velocidad (raíz cuadrática media) de las moléculas de aire es de 500 metros por segundo y la velocidad del sonido es de 340 metros por segundo.

No hay contradicción entre las fórmulas relativistas y las no relativistas, que son los límites de las primeras, y la velocidad del sonido de los materiales no relativistas es mucho menor que la velocidad de la luz.

La velocidad del sonido en el régimen no relativista es mucho menor que la velocidad del sonido y concuerda con su fórmula final. Para ver eso debes recordar que la densidad de partículas$n(\rho)$no es una constante, pero es una función de la densidad de energía. De hecho, para el fluido no relativista

$$\rho(n)=nm c^2+\kappa n^{5/3}.$$

Ahora puede verificar que la dependencia energética de la densidad de partículas modificará su cálculo relativista y el resultado total coincidirá con la fórmula final correcta en su publicación.