¿Cómo se deriva la ecuación para la velocidad del sonido?

Esta derivación a menudo se pasa por alto, porque está un poco involucrada (para una presentación de grado) en la forma de pensar de Newton, con fuerzas explícitas, aunque así es como lo hizo Newton, y es demasiado trivial si usa conceptos de tensor de estrés. Usaré el concepto de tensor de estrés.

El impulso es una cantidad conservada, y debe estar familiarizado con la ley de conservación en forma diferencial:

$$\partial_t \rho + \partial_i J^i = 0$$

Donde se suma el índice i repetido (convención de Einstein). Esto es más claro en el espacio-tiempo, donde la densidad$\rho$se convierte en el componente de tiempo de un cuadrivector, pero es igual de cierto en la mecánica newtoniana galileana.

Para el impulso, tiene tres densidades de impulso conservadas separadas$p^i$que obedecen una ley de conservación:

$$\partial_t p^j + \partial_i T^{ij} = 0$$

Donde la interpretación de$T^{ij}$es que es el flujo de la i-ésima componente de p en la dirección j. Hay tres ecuaciones, ya que hay tres cantidades conservadas separadas: el momento x, y, z.

Si comprimes una región de aire, obtienes un poco más de presión. La forma de presión es una densidad de tensión diagonal, por simetría rotacional (también es intuitiva --- presión expulsada --- así que el impulso x va en la dirección x, el impulso y va en la dirección y y así sucesivamente) .

Por lo tanto, el esfuerzo T para una presión es

$$T^{ij} = P(\rho) \delta^{ij}$$

Si el material comienza en la posición x (en cada x hay un volumen infinitesimal diferente de material) y el material que estaría en x cuando todo está quieto se mueve en el tiempo t a x+\delta X(x,t), entonces la densidad de momento es

$$p^{i} = \rho {\partial_t X(x,t)}$$

Asumiendo$\rho = \rho_0(1 - \delta v)$donde la compresión de volumen infinitesimal, que da el cambio en la densidad, está dada por la divergencia de X (esto es geométricamente claro si haces un dibujo, o simplemente de la definición de divergencia)

$$\delta v = \partial_j X^j$$

A primer orden infinitesimal, entonces la presión es

$$P (\rho) = P(\rho_0) - C\delta v = P(\rho_0) - C \partial_i X^i$$

Dónde$C= {dP\over d\rho}$

Ahora, por conveniencia matemática (no quiero tratar con el sonido transversal), considere reducir a una dimensión. En este caso, X(x) es solo una función unidimensional que indica el desplazamiento y la tensión es solo$T^{11} = \rho_0 \partial_x X$(el flujo de la cantidad de movimiento x en la dirección x).

La ecuación de continuidad en 1d te da

$$\rho_0 \partial^2_t X - \rho_0 C \partial^2_x X = 0$$

Y esta es la ecuación de onda con la velocidad del sonido al cuadrado igual a C. Puede repetir el análisis 1d con fuerzas detalladas, sin usar la ecuación de continuidad un poco más abstracta, y esto es lo que hizo Newton para encontrar la velocidad del sonido cuando .

Para ver que la ecuación unidimensional anterior describe ondas que se mueven con una velocidad$\pm \sqrt{C}$, considere la forma funcional de tal onda moviéndose con velocidad c:

$$\phi(x,t) = f(x-ct)$$

donde f es una función de una variable dependiente. Diferenciar dos veces en el tiempo

$$\partial^2_t \phi = c^2 f''$$

y dos veces en el espacio:

$$\partial^2_x \phi = f''$$

y ves que satisface la ecuación de onda:

$$\partial^2_t \phi - c^2 \partial^2_x \phi = 0$$

La solución general de la ecuación 1d se puede expresar como la suma de una onda que se mueve hacia la izquierda y una que se mueve hacia la derecha. Esto se puede utilizar para que coincida con cualquier condición inicial de$\phi$y$\partial_t\phi$, y por lo tanto es la forma general. Puede derivar la solución general de una teoría general sistemática usando transformadas de Fourier, considerando ondas planas.

La otra respuesta sigue https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_47.html pero es un poco larga y todavía faltan algunos pasos, como encontrar la fase relativa entre la posición de un orador (o lo que sea que esté produciendo un sonido) y la presión. La otra respuesta afirma que, de manera similar a un argumento de agitar la mano, "Esto se puede usar para hacer coincidir cualquier condición inicial de ϕ y ∂tϕ..." En realidad, ignora y menosprecia cuáles serían estas condiciones. Secciones enteras del curso, como gran parte del electromagnetismo, se basan en resolver condiciones de contorno y relaciones fasoriales, por lo que también vale la pena derivar para una comprensión más completa de la propagación del sonido, y no solo detenerse cuando obtenemos una velocidad algo vaga de la relación del sonido.

Considere un pistón capaz de empujar una columna larga de gas comprimible, fluido, etc. Suponga que en el tiempo$t\leq0$el pistón está en reposo y está a una distancia de$0$de un soporte que sirve principalmente como punto de referencia. entonces en$t=0$el pistón se acelera rápidamente hacia la derecha a una velocidad de$v_p$(donde el$p$es para pistón ). El gas muy a la derecha estará sin comprimir y aún en reposo, mientras que el gas cerca del pistón se moverá a una velocidad de$v_p.$Por definición, el límite de la discontinuidad de presión estará a una distancia$tc$del pistón, donde$c$es la velocidad del sonido. Aquí, mostrado por la línea/círculo verde abajo, habrá una discontinuidad de presión de$\Delta P$:

La distancia entre las líneas rojas es$v_p t$, por lo que esta imagen asume$c\sim 15v_p.$

Es importante darse cuenta de que la línea verde se mueve a gran velocidad$c$no corresponde a la velocidad de movimiento de ningún gas a granel. Más bien, es solo un límite imaginario/virtual que indica dónde ocurre la discontinuidad de presión, y también dónde el gas pasa repentinamente de estar estacionario a tener una velocidad de$v_p$.

La fuerza que el pistón tiene que ejercer sobre el gas es justo sobre el gas perturbado. Está$F={d\over dt}(p=mv_p),$dónde$m$es la masa del gas perturbado y$p$es su impulso.$=F=\dot{m}v_p+m\dot{v_p}=\rho A c v_p+0$dónde$A$es el área de la sección transversal del tubo y$\rho$es la densidad no perturbada ya que podemos usar la masa de gas a la izquierda de la línea verde para el gas en el tiempo atrás en$t=0$para medirlo en lugar de usar la densidad presurizada y el tiempo actual. Pero no necesitamos hacer esto ya que el factor de deformación o compresión es fácil de calcular. es solo

$${\Delta V\over V}={A(ct-v_p t)-Act\over Act}=-v_p/c,$$ dónde$V$denota volúmenes. Esta deformación corresponde a un aumento de presión de$\Delta P$sólo en el lado izquierdo del gas perturbado. Esto le da al gas perturbado una fuerza de

$$F=\Delta P A=\rho A c v_p$$

todo lo cual se dedica a acelerar solo el gas recién perturbado.

El propósito del escenario anterior es ver las cosas más lentas, pero en aplicaciones reales es más probable que estemos lidiando con oscilaciones de alta frecuencia (~1 kHz). En esta situación, podemos suponer una compresión adiabática , donde$PV^\gamma=$constante. Taylor expandiendo esta relación da$\Delta P/P=-\gamma \Delta V/V.$Usando esto para eliminar$\Delta P$de la ecuación de fuerza da

$$F= -\gamma {\Delta V\over V} P A = \gamma {v_p\over c} P A = \rho A c v_p$$ $$c^2={\gamma P\over \rho}$$ $$c=\sqrt{\gamma R_s T}=\sqrt{\gamma kT/\bar m},$$ donde he usado una ley de los gases popular en química para eliminar la densidad. Como cheque, para el aire tenemos$\gamma=1.4,$ $R_s=\rm 8.314463 J·K^{−1}·mol^{−1} / (0.02896 \ kg \ mol^{-1})$,$T=270 \rm K$, asi que$c$= 737 millas por hora frente a 767 mph del fragmento de código de Google.

Hasta ahora supusimos$v_p(t)\propto u(t),$dónde$u$es la función de paso. Si, en cambio,$v_p(t)=v_{p0}\sin(wt=2\pi t/T),$como en una fuente de sonido tradicional como un parlante o un diapasón, ¿qué sucedería entonces? Del análisis anterior, sabemos que la intensidad de la onda de presión aumenta con la velocidad del movimiento en comparación con la velocidad del sonido. Así, en lugar de que la presión esté en fase con, por ejemplo , la posición, estaría en cambio en fase con su derivada, la velocidad; cuando un altavoz está más cerca de usted, produce el menor sonido. Además, la onda de presión no podría seguir el análisis anterior lejos del pistón. Más bien, tendría que limitarse a la extensión física, el tamaño y la masa de aire vibrante más a la derecha a una distancia o longitud de onda de$\lambda=cT$del pistón; la forma de presión suave (ya no una discontinuidad aguda), en el régimen lineal, aún mantendría la misma velocidad de propagación hacia la derecha, pero a medida que uno se aleja obtendría un retardo de tiempo de$x/c=xk/w$con$\Delta P=\Delta P_0\sin(wt-kx)=-\Delta P_0\sin(kx-wt),$dónde$-kx$revela que el oyente distante escucha viejas vibraciones.

Por supuesto, cualquier función de repetición arbitraria se puede expandir en una serie de Fourier ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series ), y este es el único componente requerido para ello. Por lo tanto, a través de la superposición, podemos quitar el pistón y reemplazarlo con cualquier fuente de sonido y obtener el mismo resultado asumiendo la linealidad. Por el contrario, los efectos no lineales de, por ejemplo ,$v_p\simeq c$,$\omega\simeq 0$(no adiabático), etc. también podría ser posible, en cuyo caso esto no es necesariamente cierto y podría haber, por ejemplo , una velocidad de propagación dependiente de la frecuencia.

Si usa esta derivación de la velocidad del sonido, tenga la amabilidad de darme crédito, aunque mis contribuciones a la idea central no fueron tan significativas.