Cómo calcular la temperatura de equilibrio planetario en sistemas binarios

La potencia radiada por el planeta, asumiendo que está a la misma temperatura en toda su superficie:

$$P_{\mathrm{rad}}=\epsilon\sigma T_{\mathrm{eq}}^4 \cdot 4\pi R_{\mathrm{pl}}^2$$

Dónde$\epsilon$es la emisividad (para que coincida con la fórmula en la pregunta, establezca esto en 1),$\sigma$es la constante de Stefan-Boltzmann ,$T_{\mathrm{eq}}$es la temperatura de equilibrio y$R_{\mathrm{pl}}$es el radio del planeta.

La potencia absorbida por el planeta de las estrellas, asumiendo que está lo suficientemente lejos de cada estrella como para que haya una iluminación insignificante de esa estrella más allá de los 90° desde el punto subestelar:

$$P_{\mathrm{abs}}=\sum_i{f_i\left(1 - A_i\right) \cdot \pi R_{\mathrm{pl}}^2}$$

Dónde$f_i$es el flujo de la$i$la estrella y$A_i$es el albedo planetario con respecto al$i$la estrella (esto puede ser diferente porque la reflectividad dependerá de la longitud de onda, y la temperatura estelar afecta las longitudes de onda que se emiten).

Así que iguale la potencia radiada y absorbida, y reorganice:

$$T_{\mathrm{eq}} = \left[ \frac{\sum_i{f_i\left(1-A_i\right)}}{4\epsilon\sigma} \right]^{1/4}$$

La limitación aquí es que los flujos van a ser variables en el tiempo debido a los cambios en la distancia del planeta a las estrellas (lo mismo se aplica a un planeta en una órbita excéntrica alrededor de una sola estrella), y no es trivial descubrir cómo promediar esto. El planeta real tardará en calentarse y enfriarse, y en ese tiempo cambiarán las distancias y los flujos.

Así que tome los números que obtiene de este cálculo de "temperatura de equilibrio" con una pizca de sal.

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Según lo solicitado, aquí hay algunos cálculos de ejemplo. En primer lugar, el control de cordura: la Tierra. Tomando 1361 W/m ² como valor de la constante solar y usando un albedo de 0.3 y una emisividad de 1, la temperatura resulta como

$$T_{\mathrm{eq}} = \left[\frac{1361\ \mathrm{W\!\cdot\!m^{-2}\,\times \left(1-0.3\right)}}{4 \times 1 \times \left(5.6704 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\!\cdot m^{-2}\!\cdot\!K^{-4}} \right)}\right]^{1/4} \approx 255\ \mathrm{K}$$

Un poco de frío, pero no tan malo: el efecto invernadero mantiene más caliente a la Tierra, lo que podría tenerse en cuenta mediante el uso de una emisividad$\epsilon < 1$.

Ahora, para el ejemplo de su pregunta, con flujos de 1344 W/m ² y 92 W/m ² . Supongamos también que mientras la primera estrella es similar al Sol (por lo que mantendré el valor de 0,3 para el albedo), la segunda estrella es más fría que el Sol. Esta estrella emite más luz en el rojo donde el planeta es menos reflectante. Usaré un albedo de 0,25 para esta estrella.

El cálculo funciona de la siguiente manera (dejando de lado las unidades en el paso de cálculo por motivos de espacio):

$$T_\mathrm{eq}=\left[\frac{1344\times\left(1-0.3\right) + 92\times\left(1-0.25\right)}{4\times1\times\left(5.6704\times10^{-8}\right)}\right]^{1/4} \approx 258\ \mathrm{K}$$

¡Espero que ayude!