Ganancia de filtro paso alto y ganancia de filtro Sallen-Key

La ganancia es Vout/Vin. Usando la teoría del amplificador operacional ideal y usando las impedancias, calcule Vout/Vin. Las capacitancias se vuelven 1/Cs.

Para el filtro de paso alto, obtendrías algo como esto:

$$I_2 = \frac{V_{mid}-V_{out}}{R_2}$$ $$I_1 = \frac{V_{in}-V_{mid}}{\frac{1}{C_1s}}$$
$$I_3 = \frac{V_{mid}-V_{out}}{\frac{1}{C_3s}}$$ # Vout debido a que las entradas del amplificador operacional son iguales.
$$I_4 = \frac{V_{out}}{R_4}$$ $$I_1 = I_2 + I_3$$ $$I_3 = I_4$$ Usando la información anterior, ahora debería poder resolver Vout/Vin, cuál es su ganancia. Repita lo mismo para el siguiente filtro.

Usando I3=I4:

$$\frac{V_{out}}{R_4} = \frac{V_{mid}-V_{out}}{\frac{1}{C_3s}}$$ $$V_{out} = (V_{mid} - V_{out})R_4C_3s$$
$$V_{out}(1+R_4C_3s) = V_{mid}R_4C_3s$$ $$V_{out} = V_{mid}R_4C_3s/(1+R_4C_3s)$$ $$V_{mid} = V_{out}(1+R_4C_3s)/(R_4C_3s)$$

Usando I1 = I2 +I3:

$$\frac{V_{in}-V_{mid}}{\frac{1}{C_1s}} = \frac{V_{mid}-V_{out}}{R_2} + \frac{V_{mid}-V_{out}}{\frac{1}{C_3s}}$$ $$V_{in}C_1s = V_{mid}(\frac{1}{R_2}+C_1s+C_3s) - V_{out}(C_3s +\frac{1}{R_2})$$ $$V_{mid} = \frac{V_{in}C_1s + V_{out}(C_3s+\frac{1}{R_2})}{\frac{1}{R_2}+C_1s+C_3s}$$

Combina las ecuaciones superior e inferior:

$$V_{out}\frac{1+R_4C_3s}{R_4C_3s} = \frac{V_{in}C_1s + V_{out}(C_3s+1/R_2)}{1/R_2+C_1s+C_3s}$$ $$V_{out}( \frac{1}{R_4C_3s} +1 -\frac{C_3s+1/R_2}{1/R_2+C_1s+C_3s} ) = V_{in}\frac{C_1s}{1/R_2+C_1s+C_3s}$$ $$Gain = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{ \frac{C_1s}{1/R_2+C_1s+C_3s} } { \frac{1}{R_4C_3s} +1 -\frac{C_3s+1/R_2}{1/R_2+C_1s+C_3s} }$$

$$\frac{\frac{C_1s(R_4C_3s)}{X}} {1+R_4C_3s-R_4C_3s\frac{C_3s+1/R_2}{X} }$$

$$\frac{ C_1s(R_4C_3s) }{ X+(R_4C_3s)X-R_4C_3s(C_3s+1/R_2) }$$

$$\frac{C_1sR_4C_3s }{ (1/R_2+C_1s+C_3s)(1+R_4C_3s)-R_4C_3s(C_3s+1/R_2) }$$ $$\frac{C_1sR_4C_3s }{ 1/R_2+C_1s+C_3s + R_4C_3s/R_2 + C_1sR_4C_3s+R_4C_3^2s^2-R_4C_3^2s^2-R_4C_3s/R_2 }$$ $$\frac{ C_1sR_4C_3s }{1/R_2+C_1s+C_3s + C_1sR_4C_3s }$$ $$\frac {R_4C_1C_3s^2}{R_4C_1C_3s^2 + (C_1+C_3)s + 1/R_2 }$$

No garantizo que no haya cometido un error tipográfico en alguna parte, pero esto debería ponerlo en el camino correcto. Una vez que determina las corrientes/voltajes básicos, es como cualquier otro circuito donde es solo mucha álgebra.

Cada filtro es un filtro de ganancia unitaria Sallen Key.

Puede decir que son ganancia unitaria a partir de la retroalimentación directa entre la salida del amplificador operacional y la entrada inversora, que configura el amplificador operacional para la operación de ganancia unitaria.

El de arriba es de paso alto. El de abajo es de paso bajo.

Si está calculando la ganancia de CC de los filtros... entonces eso es bastante simple.

Los condensadores son circuitos abiertos (desconectados) en CC. A partir de ahí, vemos que solo tenemos R1 + R2 en el terminal "Plus" del OpAmp (por lo que hay un divisor de voltaje entre la "impedancia de entrada" interna), y tenemos la salida en cortocircuito con el terminal de retroalimentación negativa.

Por lo tanto, debería ser algo parecido a un amplificador de ganancia unitaria en CC.

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Para el filtro de paso alto, los condensadores están en cortocircuito a una frecuencia infinita. Siga la lógica nuevamente y vemos que el OpAmp es nuevamente un amplificador de ganancia unitaria a frecuencia infinita.

En la práctica, este no es el caso porque todos los amplificadores operacionales tienen un ancho de banda limitado... pero asumiendo "componentes teóricos perfectos", así es como se hacen las cosas.