Cómo calcular la dilatación del tiempo al acercarse a la velocidad de la luz

donde t_0 es el tiempo que tomaría si viajara en c

Este es tu problema.

$t_0$por el piloto y$t$el tiempo que toma el viaje visto por un observador que se mueve con respecto al piloto a la velocidad$v$. Desde el punto de vista de los observadores que se quedan en casa, el viaje dura$t = d/v$, pero el piloto experimenta el tiempo adecuado$t_0 = t/\gamma < t$.

Desafortunadamente, eso genera un pequeño problema porque no existe una definición única de "en reposo". Introduzca la "paradoja de los gemelos" que se ha discutido en el sitio antes.

Solo para ampliar un poco la respuesta de dmckee ...

El tiempo adecuado es un concepto crucial en RS. En casi cualquier situación en SR, necesita un sistema de coordenadas que incluya las coordenadas espaciales y una coordenada de tiempo$t$. La palabra clave aquí es coordinar . En SR, el tiempo es una coordenada que debe distinguirse de un parámetro .

En la mecánica newtoniana,$t$es parámetro ; el parámetro de las trayectorias a través del espacio . En SR, las trayectorias se convierten en líneas de mundo; trayectorias a través del espacio-tiempo . Pero las líneas de mundo también necesitan un parámetro y, en SR, ese parámetro es el tiempo adecuado,$\tau$.

El tiempo propio es el tiempo transcurrido a lo largo de la línea del mundo; es, en términos generales, el tiempo transcurrido tal como lo lee un reloj en la línea del mundo (o el reloj de pulsera del piloto de la nave espacial).

Existe una relación entre el tiempo propio a lo largo de una línea universal y el tiempo de coordenadas:

$\gamma \Delta\tau = \Delta t$

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - (\dfrac{v^2}{c^2})}}$

Dónde$v$es la velocidad uniforme del objeto en el sistema de coordenadas con tiempo de coordenadas$t$.

Ahora, vea que el tiempo de coordenadas transcurrido,$\Delta t$, es el tiempo propio transcurrido$\Delta \tau$ de un observador en reposo en ese sistema de coordenadas . Léalo de nuevo para asegurarse de que tiene sentido para usted.

Una última cosa, el tiempo adecuado a lo largo de una línea de mundo es invariable; es el mismo en todos los sistemas de coordenadas inerciales.

Solo para ampliar un poco la respuesta de Alfred ...

Cuando intenta comprender un sistema en relatividad especial, es peligroso arrojar factores de gamma y esperar obtener la respuesta correcta. Tienes que sentarte y hacer un cálculo. Esto suena un poco brutal, pero el cálculo suele ser más simple de lo que piensas. Hagámoslo para este caso.

Para concretar las cosas, supongamos que la nave estelar nos pasa en el tiempo cero, y nosotros y el capitán de la nave estelar sincronizamos nuestros relojes para que el tiempo cero sea cuando pasemos. Supongamos también que la nave estelar viaja a alguna estrella que está a una distancia$d$lejos de nosotros.

En nuestro marco podemos identificar dos puntos de espacio-tiempo. El punto$(0, 0)$es cuando la nave estelar nos pasa, y el punto$(d/v, d)$es cuando la nave llega a la estrella. Una explicación rápida de ese segundo punto: escribimos puntos como$(t, x)$. Cuando la nave espacial está en la estrella$x = d$, y el tiempo necesario para llegar a la estrella es distancia/velocidad o$d/v$, por lo que el punto en que la nave llega a la estrella es$(d/v, d)$.

Ahora consideremos el marco de la nave estelar. En este marco, la nave estelar está estacionaria y, de acuerdo con nosotros en la Tierra, el punto en que la nave espacial pasa por la Tierra es (0, 0). Tenemos que averiguar en qué punto$(t', d')$la nave espacial ve pasar la estrella. El valor de$d'$es fácil porque en el marco de la nave estelar no se mueve, así que$d' = 0$. Todo lo que queda es trabajar$t'$.

Hay varias formas de calcular$t'$, pero mi favorito es usar el hecho de que el tiempo propio es un invariante en la relatividad especial. Alfred mencionó el momento adecuado en su respuesta, y está dado por:

$$d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$

La clave del tiempo adecuado es que es invariable, lo que significa que cada observador en cada marco inercial medirá el mismo valor de$d\tau$. Podemos usar esto para calcular$t'$. En nuestro caso, está simplificado porque solo estamos considerando el movimiento en el$x$dirección así$dy$y$dz$ambos son cero.

Entonces, en nuestro marco calculamos$\tau$ser:

$$\tau^2 = c^2 \frac{d^2}{v^2} - d^2$$

En el marco de la nave estelar$d'$es cero por lo que el tiempo adecuado es simplemente:

$$\tau'^2 = c^2t'^2$$

Ambos observadores deben ponerse de acuerdo sobre el momento adecuado para que$\tau = \tau'$, y al igualarlos nos da:

$$c^2t'^2 = c^2 \frac{d^2}{v^2} - d^2$$

y una rápida simplificación da:

$$t' = \sqrt{\frac{d^2}{v^2} - \frac{d^2}{c^2}}$$

Sería bueno tener$t'$en términos de$t$en vez de$d$, y podemos hacer esto simplemente observando que$d = vt$, que da (después de una rápida reorganización):

$$t' = t\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Entonces, el tiempo que mide el capitán de la nave estelar para llegar a la estrella es más corto que el tiempo que medimos nosotros, como esperaban. El cálculo ahora te muestra que tu ecuación estaba equivocada ya que obtuviste el factor de$\sqrt{1 - v^2/c^2}$en el lugar equivocado

Por cierto, también podemos calcular qué distancia mide el capitán de la nave estelar a la estrella. Tanto nosotros como el capitán estamos de acuerdo en nuestra velocidad relativa,$v$, para que el capitán pueda calcular la distancia a la estrella usando$d' = vt'$y obtiene:

$$d' = vt\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

y por supuesto$vt$es solo$d$entonces:

$$d' = d\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Entonces, el capitán de la nave espacial mide la distancia a la estrella reducida por un factor de$\sqrt{1 - v^2/c^2}$como el tiempo.