Si la ruptura de simetría espontánea solo ocurre en sistemas infinitos, ¿por qué observamos efectos similares en sistemas finitos?

Fondo

Sin SSB en sistemas finitos

Considere un sistema que interactúa con un baño de calor a temperatura inversa β , con la dinámica resultante del sistema descrito por un superoperador de Liouvillian L . Si este sistema es finito, entonces bajo condiciones bastante generales en L , esperamos el estado de equilibrio ρ , sentido L ( ρ ) = 0 , dado únicamente por el estado de Gibbs

ρ gramo i b b s = mi − β H T r [ mi − β H ] ,

donde H es el hamiltoniano del sistema.

Dejar GRAMO sea ​​el grupo de simetría del hamiltoniano, lo que significa que hay una representación unitaria tu de GRAMO tal que [ H , tu ( gramo ) ] = 0 para todos gramo ∈ GRAMO . Está claro que también tenemos [ ρ gramo i b b s , tu ( gramo ) ] = 0 , por lo que el estado de Gibbs conserva todas las simetrías del hamiltoniano. En este sentido, parece que no puede haber ruptura espontánea de simetría (SSB) en sistemas finitos .

SSB en sistemas infinitos (y estados KMS)

La narrativa típica luego procede a decir que, de hecho, SSB puede ocurrir, pero solo en sistemas infinitos . Aquí no hay garantía de que mi − β H es de clase de seguimiento, por lo que, en general, el estado de Gibbs no está bien definido. Para extender la noción de un estado "térmico" a infinitos sistemas, generalmente se definen los llamados estados KMS. Estos son los estados ϕ que satisfacen la condición KMS, que puede (informalmente) establecerse como

⟨ A ( t ) B ⟩ ϕ = ⟨ B ( t + i β ) A ⟩ ϕ ,

para todos los operadores A y B en el álgebra de operadores, donde ⟨ ⋅ ⟩ ϕ indica un valor esperado con respecto al estado ϕ . (Omito todo C ∗ -detalles algebraicos aquí por brevedad.)

Existe una gran cantidad de literatura que muestra que los estados KMS conservan las propiedades que consideramos clave para la definición de un estado térmico, como ser estados de equilibrio, pero permanecen bien definidos para sistemas infinitos.

Para sistemas finitos, creo que la condición KMS especifica de forma única un estado: el estado de Gibbs. Sin embargo, para sistemas infinitos, este no es necesariamente el caso y, en términos generales, SSB ocurre cuando hay múltiples estados KMS, cada uno de los cuales no está preservado por el grupo de simetría del hamiltoniano.

Pregunta

Tanto los experimentos como las simulaciones numéricas muestran sistemas con un comportamiento que parece muy similar al de SSB (¡los ferromagnetos existen!). Sin embargo, estos sistemas del mundo real son claramente finitos, por lo que los argumentos anteriores sugerirían que realmente no pueden mostrar SSB. ¿Cuál es la explicación de esta discrepancia?

Pensamientos sobre una respuesta

Aunque finitos, los experimentos del mundo real a menudo se pueden describir de manera bastante efectiva tomando el límite de tamaño infinito. Si esto es apropiado, entonces tal vez la dinámica de estos grandes sistemas finitos se pueda aproximar bien mediante sistemas infinitos, al menos hasta una gran escala de tiempo. τ que presumiblemente crece rápidamente con el tamaño del sistema. Entonces podríamos esperar que estos sistemas finitos muestren firmas de SSB a lo largo de la escala de tiempo τ , después de lo cual decaerán al estado de Gibbs y se restaurará la simetría. Si esto está en la línea correcta, ¿se puede precisar algo de esto?

Algunas reflexiones rápidas: 1) el estado fundamental absoluto es una superposición macroscópica del estado de ruptura de simetría. 2). La cantidad más pequeña de acoplamiento destruirá la coherencia para este estado de gato 3) Supongo que el estado de gibs de temperatura más pequeña es un estado mixto de los estados rotos de simetría, por lo que en general es simétrico. Esto es consistente con los experimentos en los que no se sabe de antemano cómo se rompe la simetría. No sé cómo probar esto. Puede ser que físicamente el tiempo de tunelización macroscópica diverja y nunca haya una termalización verdadera del estado de gibs.
¿Se trata de cuántica, clásica o ambas?
Esto suena a exceso de formalismo matemático que enturbia un punto físico muy simple. Olvídese de los superoperadores de Liouvillian, los estados de KMS y C ∗ álgebras. El punto es que un sistema grande tiene estados fundamentales degenerados con barreras de alta energía entre ellos. En el caso mecánico estadístico, la escala de tiempo para las fluctuaciones térmicas entre ellos es muy pequeña. En el caso cuántico, una superposición de ellos no es estable y se descohere inmediatamente. Entonces, en cualquier caso, verá el sistema en un solo estado roto de simetría.
@NorbertSchuch, creo que el formalismo KMS se aplica igualmente bien a los casos cuánticos y clásicos, por lo que, en principio, me refiero a ambos. Sin embargo, sigo siendo un peatón en lo que respecta a SSB, cuántica o clásica, por lo que también me interesarían las respuestas que solo se aplican a una u otra.
@knzhou, ¿no está de acuerdo en que existe una diferencia cualitativa entre sistemas finitos e infinitos cuando se trata de SSB? Disculpas si las matemáticas que mencioné ofuscaron el punto, pero creo que la lógica subyacente es correcta. Con respecto a su punto sobre los estados inestables del gato, tengo dos puntos de confusión: i) ¿cómo se extiende esto a una temperatura finita? ii) incluso en 0T, ¿por qué el estado de equilibrio debería ser un estado puro? ¿No podría ser una mezcla igual de los estados fundamentales, que serían invariantes de simetría? De hecho, esto es lo que obtienes si tomas el límite. β → ∞ del estado de Gibbs.
@OliverLunt No, no hay una diferencia cualitativa entre sistemas finitos e infinitos, porque cada propiedad física de un sistema infinito debe aproximarse arbitrariamente bien por uno finito suficientemente grande. Si encontrara una cantidad que no obedezca esta regla (es decir, donde el caso infinito se vería completamente diferente de cualquier caso finito, sin importar cuán grande sea), entonces sería irrelevante para todos los propósitos físicos porque no existen sistemas infinitos.
En el caso clásico, no puedes mezclar los estados fundamentales; el imán apunta hacia aquí o hacia allá. En el caso cuántico, cualquier superposición de los dos se descoherirá inmediatamente al interactuar con casi cualquier otra cosa. (O, dicho de otra manera, cualquier partícula cargada que pase "medirá" la dirección y, por lo tanto, colapsará la superposición).
@knzhou, lo que dices sobre los sistemas finitos versus infinitos parece sensato. Sin embargo, el argumento que di para "no SSB en sistemas finitos" es muy simple. ¿Estás diciendo que hay una falla en este argumento?
@knzhou, estoy de acuerdo en que un estado puro que consiste en una superposición simétrica de estados que rompen la simetría debería ser inestable a la decoherencia. Sin embargo, como mencioné en mi comentario anterior, no estoy seguro de por qué el estado de equilibrio (que es el relevante para SSB, ¿verdad?) debería ser un estado puro, en lugar de un estado mixto. Tomando el límite β → ∞ del estado de Gibbs te da un estado mixto igual de todos los estados fundamentales, que es invariante bajo cualquier simetría del hamiltoniano.
@OliverLunt Sí, pero una cosa es postular matemáticamente que el sistema está en el estado de Gibbs y otra muy distinta ponerlo en ese estado en el laboratorio. Es como pedirle a alguien que prepare un gato de Schrödinger. El formalismo matemático no tiene en cuenta ninguna perturbación externa.
@knzhou No estoy seguro de lo que quieres decir. Existe una amplia evidencia experimental que sugiere que el estado de un sistema que se deja equilibrar térmicamente será (bien aproximado por) una distribución de Gibbs.
@OliverLunt A altas temperaturas, claro. Pero para bajas temperaturas, la distribución de Gibbs describe un sistema en equilibrio térmico con un baño térmico ideal a temperatura cero, es decir, un sistema perfectamente aislado. Esa es la parte que no es realista. No importa cuál sea la temperatura, la distribución de Gibbs no puede tener en cuenta el campo del imán del refrigerador en la otra habitación, o que alguien encienda un microondas al final del pasillo, o una impureza en el cristal, porque estos no son parte de un ideal. baño termal. Para temperaturas más bajas, estos efectos se vuelven relativamente más importantes.
Aquí hay otra forma de decirlo. Todos los estados son realmente puros; solo usa estados mixtos cuando le falta información (es decir, sobre el sistema en sí, o quizás el estado del entorno). Así que tal vez puedas decir el T = 0 El estado de un imán es mixto, porque algún estudiante enfrió el imán por ti y no sabes en qué dirección terminó apuntando. Pero puedes simplemente entrar en la habitación y mirarlo , en cuyo caso puedes tratarlo como un estado puro. (Esta es simplemente otra forma de expresar lo de decoherencia/medición que dije antes).
Si bien hace poca diferencia en el sistema físico, los sistemas matemáticamente infinitos y finitos son muy diferentes. Para sistemas finitos no existe dechorencia, siempre hay un tiempo de recurrencia donde reaparece el estado original. Este tiempo llega al infinito a medida que aumenta el tamaño del sistema y puede parecer que los subsistemas se termalizan como lo hacen con los sistemas infinitos. Pero en sistemas infinitos, la información sobre el estado inicial se extiende hasta el infinito y el sistema nunca se repite.

Respuestas (2)

Esta pregunta es exactamente abordada y tratada con rigor por NP Landsman . La explicación es que en la gran norte En el límite, el estado fundamental simétrico se vuelve exponencialmente sensible a las perturbaciones asimétricas, mientras que los primeros estados excitados, aunque inestables, se acercan mucho en energía al estado simétrico y decaen exponencialmente lentamente en cualquier dirección, por lo que el sistema se encuentra dinámicamente en un estado de ruptura de simetría. en un finito por muy grande norte .

No estoy seguro si esto coincide con tu rompecabezas, pero: cuando escribes algo como [ ρ , GRAMO ] , está pensando en medir la existencia de simetría observando el valor esperado del propio operador. Sin embargo, en un sentido completamente cuántico, debe definir la simetría con la expectativa de correlacionadores distintos de los propios operadores.

Puede encontrar útil la nota de Lec.1 aquí, que usó el modelo transversal de Ising como ejemplo, y la definición de SB se menciona en la página 9

https://learning-modules.mit.edu/materials/index.html?uuid=/course/8/fa17/8.513#materials

Hola, sé que esto fue hace un tiempo, pero ¿te importaría compartir la nota de clase que tenías? No pude acceder a esto yo mismo... Gracias de antemano.
Si la ruptura de simetría espontánea solo ocurre en sistemas infinitos, ¿por qué observamos efectos similares en sistemas finitos?
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