¿Cómo afecta la degeneración del fermión a la dispersión elástica en objetos astrofísicos compactos?

Tome cualquier sistema que tenga estados etiquetados por$i$y números de ocupación etiquetados por$f_i$. Es decir$f_i$es el número esperado de partículas en el estado dado y se normaliza no a uno sino como$\sum_i f_i = N$. Ahora permita que este sistema tenga una probabilidad de transición por unidad de tiempo desde el estado$i$a otro$j$denotado por$P_{ij}$. Esto significa que$f_i P_{ij}$las partículas saltarán a$j$de$i$en la unidad de tiempo. Por otro lado,$f_j P_{ji}$las partículas saltarán de$j$a$i$al mismo tiempo. Por lo tanto, podemos caracterizar la derivada temporal del número de ocupación como

$$\frac{d f_i}{d t} = \sum_j (P_{ji} f_j - P_{ij}f_i)$$ En muchos sistemas, particularmente en los reversibles, tenemos $P_{ij}=P_{ji}$.

Sin embargo, imagine que estamos tratando con partículas cuánticas idénticas, allí podemos deducir de las simetrías de permutación que las tasas de transición deben modificarse como

$$\frac{d f_i}{d t} = \sum_j [P_{ji} f_j(1\pm f_i) - P_{ij}f_i(1 \pm f_j)]$$ donde el más es para las estadísticas de Bose y el menos para las estadísticas de Fermi. En particular, puedes ver que para los fermiones la probabilidad de transición de $j$a $i$es cero si el estado ya está ocupado.

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El caso específico de un gas en astrofísica se puede modelar mediante la ecuación de Boltzmann

$$\partial_t f + \partial_p H \partial_x f - \partial_x H \partial_p f = \delta f_{coll}$$ dónde $f(p,x)$ahora representa el número de ocupación en una celda de espacio de fase de volumen $\sim \hbar$en $p,x$, y $H$es un hamiltoniano eficaz de una sola partícula que representa la deriva libre de las partículas microscópicas en los campos macroscópicos. El lado derecho es el término de colisión que (dentro de cierta aproximación) modula el comportamiento del número de ocupación debido a la colisión entre partículas.

Las partículas que siguen las estadísticas de Boltzmann tendrían

$\delta f_{coll}(p,x) = \int Q(p,q \to p',q') [f(p,x) f(q,x)- f(p',x)f(q',x) ] dq' dq dp'$

dónde$Q(p,q \to p',q')$es una matriz de dispersión calculada para dos partículas que se dispersan entre sí mientras están solas en el universo. Sin embargo, en analogía con la parte anterior de esta respuesta, las partículas fermiónicas tienen

$\delta f_{coll}(p,x) = \int Q(p,q \to p',q')$

$\left[ f(p) f(q)(1-f(p'))(1-f(q')) - f(p')f(q')(1-f(p))(1-f(q)) \right] dq' dq dp'$

donde he escrito$f(q,x) \to f(q)$para ser breve.

Es decir, la probabilidad de dispersarse en un estado ocupado con densidad$f(p,x)$estará modulada por un$1-f$factor. Si$f$está cerca de uno, esta dispersión estará esencialmente prohibida. En gases fuertemente degenerados, esto significa que esencialmente podemos despreciar cualquier resultado de dispersión en la superficie del espacio de fase de Fermi, ya sea elástica o no elástica.