¿Cómo "adivinó" Kepler su tercera ley a partir de los datos?

Es sorprendente que Kepler haya determinado sus tres leyes mirando datos, sin calculadora y usando solo lápiz y papel. Es concebible cómo demostró que sus leyes describían los datos después de que ya los había conjeturado, pero lo que no entiendo es cómo los adivinó en primer lugar.

Me centraré en particular en la tercera ley de Kepler, que establece que el cuadrado del período orbital de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita.

Supongo que Kepler estaba trabajando solo con datos sobre los planetas, además de nuestra propia luna y el sol. Hago esta suposición porque no creo que Kepler tuviera datos sobre otras lunas, cometas o asteroides, que aún no habían sido observados por telescopio. Si esto es cierto, sabiendo que Neptuno, Urano y Plutón aún no fueron descubiertos cuando Kepler estaba vivo, esto significa que Kepler tenía menos de 9 puntos de datos con los que trabajar.

Mi amigo afirma que es totalmente concebible cómo Kepler adivinó esta relación (aunque no proporciona ningún método de cómo Kepler podría haberlo hecho), y también que las observaciones de Kepler "no son tan difíciles". Como desafío, le di a mi amigo una tabla de datos con una columna etiquetada X , el otro y , y 9 coordenadas ( X , y ) que se ajustan a la relación X 4 = y 3 . Dije "por favor encuentra la relación entre X y y ", y como era de esperar, no lo hizo.

Por favor, explícame cómo diablos Kepler adivinó esta relación trabajando con tan pocos puntos de datos. Y si mi suposición de que la cantidad de puntos de datos que Kepler tenía a su disposición es pequeña es incorrecta, entonces sigo pensando que es bastante difícil adivinar esta relación sin una calculadora.

Solo usó datos sobre Marte. Su jefe, Tycho Brahe, le dijo que descifrara el movimiento retrógrado de Marte de una vez por todas. Y lo hizo fantásticamente. La tercera ley provino de su ajuste de patrón astrológico en Harmonices Mundi y tenía suficientes datos para resolver este problema geométrico. Más datos no le habrían ayudado. De hecho, eligió solo un subconjunto de las oposiciones de Marte que Tycho Brahe había observado.
Se realizó una publicación cruzada en Physics y luego se migró a HSM .
Kepler tenía muchos datos para derivar su primera y segunda leyes, cada una de las cuales se aplica a un solo planeta a la vez, pero su tercera ley es un animal completamente diferente. Relaciona las características orbitales de diferentes planetas entre sí. No importa cuántos datos haya recopilado Tycho, solo había seis planetas (contando la Tierra pero sin contar el Sol o la Luna), y Kepler no observó sus características orbitales sino que las calculó (laboriosamente). Seis puntos, cada uno con un alto margen de error, son suficientes para demostrar una relación lineal, pero apenas.
@LocalFluff: también he leído que Kepler básicamente solo usó datos sobre Marte. Pero dado que la tercera ley expresa las relaciones entre los períodos orbitales de diferentes satélites, ¿cómo es posible que haya hecho eso, sin importar cuánta información solo tenía sobre Marte?
@MarcvanLeeuwen Creo que todo se reduce a su nueva visión física de las cosas. Que el mismo conjunto de leyes naturales guía universalmente todos los movimientos. Otros más tarde realizaron los tediosos cálculos para confirmar esto para todos los planetas y la Luna, y Halley para un cometa, seguramente ya en el siglo XVII. Solo que la órbita de Mercurio no encajaba del todo debido a sutiles efectos relativistas.
@LocalFluff: Eso no responde mi pregunta en absoluto. No se puede calcular la pendiente a partir de un gráfico que tiene solo un punto de datos (la forma de la órbita y el período orbital de Marte), sin importar qué tan preciso sea ese punto de datos.
@MarcvanLeeuwen También tenía la órbita de la Tierra. Pero una sola órbita es suficiente para probar la tercera ley, y luego es una filosofía de la física generalizar ese resultado.

Respuestas (2)

El relato de Kepler sobre cómo surgió la tercera ley es el siguiente (Caspar p.286; énfasis mío):

El 8 de marzo de este año 1618, si se desea información exacta de la hora, apareció en mi cabeza. Pero tuve mala suerte cuando lo inserté en el cálculo y lo rechacé como falso. Finalmente, el 15 de mayo, vino de nuevo y con un nuevo ataque conquistó la oscuridad de mi mente, a lo que siguió una concordancia tan excelente entre mis diecisiete años de trabajo en las observaciones de Tychonic y mi presente deliberación que al principio creí que había soñado y asumir lo buscado en las pruebas sustentatorias. Pero es enteramente cierto y exacto que la proporción entre los tiempos periódicos de dos planetas cualesquiera es precisamente una vez y media la proporción de las distancias medias .

Aunque Kepler en realidad no describe la inspiración que lo llevó a creer esto, la frase curiosa proporciona una pista muy fuerte cuando se combina con información biográfica de fondo:

  1. John Napier publicó Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto en 1614, que contenía la entonces nueva invención de los logaritmos. Kepler conocía el trabajo de Napier en 1617 (Caspar p. 308), quizás antes.
  2. Joost Bürgi publicó trabajos sobre logaritmos casi al mismo tiempo que Napier, y Kepler era igualmente consciente de Bürgi, incluso elogiando sus habilidades matemáticas por superar a la mayoría de los profesores de matemáticas.

Por lo tanto, la declaración de Kepler es equivalente a decir que los datos tienen una pendiente de 1,5 en un gráfico logarítmico, que es una relación lineal muy simple en esta escala.

Referencias:

  1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, Nueva York, 1993).
Interesante que mencionó la distancia media .
@CodesInChaos AHORA el semieje mayor tiene sentido (intuitivo) para mí.

La tercera ley de Kepler es trivial (en mi opinión) en comparación con su primera ley. Estoy bastante impresionado de que haya podido deducir que las órbitas eran elipses. Para obtener eso, tuvo que ir y venir trazando la dirección de Marte desde la Tierra y la dirección de la Tierra desde Marte. Sabía la duración de los años de ambos planetas, por lo que las observaciones tomadas con un año de diferencia de Marte diferirían solo porque la Tierra se había movido.

Pero tal vez no tan trivial. Publicó sus dos primeras leyes en 1609. La tercera ley no apareció hasta diez años después, en 1619. Con diez años para trabajar en ella, eventualmente se encontrará incluso la relación más oscura.

Para descubrir una relación de razón de potencias, traza los logaritmos de los números. En tu ejemplo con X 4 = y 3 , los troncos se trazarían en línea recta con una pendiente de 3 / 4 .

El momento es correcto. Napier publicó su libro sobre logaritmos en 1614. Es posible que Kepler haya aplicado por capricho esta nueva y brillante herramienta matemática a sus viejos datos crujientes.

El principal obstáculo era que en ese momento solo había seis planetas conocidos, por lo que no tenía una gran cantidad de puntos de datos, y los que tenía no eran de ninguna manera precisos.

El otro problema de Kepler es que ninguna de sus leyes tenía sentido para él. Se ajustan a los datos, pero no tenía idea de por qué. No tenía las leyes de movimiento de Newton para trabajar, no tenía conocimiento de la fuerza, el momento, el momento angular y, ciertamente, tampoco de la gravedad. Hasta donde él sabía, los planetas se movían de la forma en que lo hacían porque Dios lo decretaba, y los ángeles tenían la tarea de empujar los planetas a lo largo de sus órbitas. Los planetas exteriores se movían más lento porque estaban siendo empujados por ángeles menores.

(Feynman hace el comentario de que ahora entendemos mucho más. Ahora sabemos que los ángeles están afuera empujando hacia el Sol).

Aunque apenas soy un erudito del trabajo de Kepler, AFAIK la atribución de la explicación de los ángeles a Kepler es una completa invención. ¿Tiene una referencia para esto que esté escrita por Kepler o una que cite directamente a Kepler?
Kepler en realidad trató de hacer que el magnetismo (entonces popular gracias a William Gilbert) explicara los movimientos de los planetas alrededor del Sol. Esto es lo que constituye el fundamento de la ciencia física. Dejó a los ángeles en la iglesia. Y solo usó datos seleccionados sobre Marte, y tenía muchos más datos de los que podía manejar. Big Data de su tiempo. La falta de datos no era en absoluto su problema.
En efecto, Caspar p. 67: "Es el nuevo pensamiento que en el sol se sitúa una fuerza que produce los movimientos del planeta, y que es tanto más débil cuanto más alejado está el planeta de la fuente de la fuerza. Sin duda, en su libro habla de un 'anima motrix', un alma en movimiento; pero ya en una carta de este período usa la palabra 'vigor', fuerza". Pero anima motrix no es un ángel... este artículo de la wikipedia alemana sobre anima motrix también es interesante.
@StanLiou Sí, hay que tener en cuenta el contexto de las palabras. "Alma" es una palabra para fuerza. Al igual que hoy usamos palabras simples para los fenómenos naturales y la agricultura para describir nuestra sociedad tecnológica: campo (de trigo), red (de pesca), corriente (de río). Incluso salen nuevos términos como "nube". No lo decimos literalmente, ni la palabra "alma" siempre tuvo un significado literal. ¡Un granjero medieval podría confundirse bastante con un libro de texto sobre electrónica!
@LocalFluff Sí, para hacer una comparación familiar, el nombre original de la energía cinética era vis viva ("fuerza viva"), el término adoptado de una tradición anterior pero que no se refiere a la vida literal. El término en sí mismo todavía sobrevive hasta el día de hoy en la mecánica orbital también.
Cuando dices que Kepler no tenía una gran cantidad de puntos de datos, no estoy seguro de que sea estrictamente cierto. Tycho Brache tenía mejor equipo que nadie antes que él, por lo que los puntos de datos planetarios que obtuvo Kepler fueron 10 veces más precisos que los que las personas tenían anteriormente. También tenía los datos de Copérnico, de los cuales pudo deducir que la órbita de Marte estaba a casi 2 grados de la elíptica terrestre (algo que Copérnico no había notado). Con mejores datos, la primera persona en reconocer diferentes planos elípticos y una sólida base matemática, pudo resolver cosas que nadie más había hecho antes.
Publicaría un enlace para respaldar eso, pero no puedo encontrarlo ahora. Sin embargo, tienes razón en que las leyes de Kepler no tenían sentido para él. Yo también he leído eso. De hecho, no le gustaban las elipses y no entendía por qué las órbitas no eran circulares. Le gustaban más los círculos, pero no podía hacer que coincidieran con los datos.
Gran respuesta. ¿Podría decirme cómo sabe Kelper el año del planeta de Marte?
¿Cómo "adivinó" Kepler su tercera ley a partir de los datos?
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