Colisión y fuerzas impulsivas: un enfoque formal

Considere dos cuerpos$m$y$M$. Suponer que$m$se mueve con velocidad constante$v_0 > 0$a lo largo de cierto eje (por ejemplo, se mueve a la derecha en el$x$-eje), y en un momento determinado, choca con$M$en$t=0$. Supongamos que después de la colisión,$m$tiene velocidad$v_1 \in \mathbb{R}$y$M$tiene velocidad$w_1>0$.

Durante la colisión, los dos cuerpos están sujetos a fuerzas impulsivas. Dado$f>0$, estas fuerzas son$-f\delta(t)$en cuerpo$m$y$f\delta(t)$de cuerpo$M$debido a la tercera ley de Newton. Darse cuenta de$\delta(t)$es el delta de Dirac. Además,$f$es$[N\cdot s]$y$\delta(t)$es$[s^{-1}]$.

En esta configuración, puedo decir que las velocidades de dos cuerpos en el tiempo son las siguientes:

$$\begin{cases} v(t) & = & v_0 + (v_1 - v_0)H(t)\\ w(t) & = & w_1 H(t) \end{cases},$$

dónde$H(t)$es el paso de Heaviside. Según estos, podemos escribir que:

$$\begin{cases} \dot{v} & = & (v_1 - v_0)\delta(t)\\ \dot{w} & = & w_1 \delta(t) \end{cases},$$

desde$H'(t) = \delta(t)$.

Las leyes del movimiento de los cuerpos son:

$$\begin{cases} m\dot{v} & = & -f\delta(t)\\ M\dot{w} & = & f \delta(t) \end{cases},$$

y por lo tanto:

$$\begin{cases} m(v_1-v_0)\delta(t) & = & -f\delta(t)\\ Mw_1\delta(t) & = & f \delta(t) \end{cases} \Rightarrow \\ \begin{cases} m(v_1-v_0) & = & -f\\ Mw_1 & = & f \end{cases} \Rightarrow\\ f = Mw_1 = m(v_0-v_1).$$

Como nota al margen,$f$y$-f$son las variaciones de los momentos de$M$y$m$, respectivamente. Así, he obtenido la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento de todo el sistema$m+M$.

Supongamos que no sabemos si la colisión es elástica o no. ¿Cómo podemos evaluar la variación de la energía cinética sin usar fórmulas como$\frac{1}{2}mv^2$, pero solo mirando las leyes del movimiento y la expresión de velocidad de los dos cuerpos.