Colapso de la función de onda en sistemas no discretos

Consideremos un sistema cuántico discreto como el oscilador armónico o el átomo de hidrógeno. Según la mecánica cuántica, cuando se realiza una medición de la energía del sistema, la función de onda se reduce a una de las funciones propias del operador hamiltoniano. Pero si, en cambio, consideramos un sistema no discreto, como una partícula libre, las funciones propias del operador hamiltoniano son funciones no normalizables, por lo que la función de onda no puede convertirse en una de ellas. ¿Qué dice la mecánica cuántica en este caso? ¿Se puede determinar, conociendo el resultado de la medición, cuál es la nueva función de onda (como podemos hacerlo en un sistema discreto usando instrumentos lo suficientemente precisos)?

Es posible que desee leer esto sobre la normalización. Además, no veo cómo se deduce que la incapacidad de normalizar conduce a la incapacidad de encontrar el sistema en un estado particular.
El átomo de hidrógeno tiene un continuo de estados no unidos.
Las funciones no normalizables no son soluciones aceptables, por lo que no pueden representar la función de onda de una partícula a menos que considere una suposición de ellas. Mi pregunta es: después de hacer una medición y obtener cierta energía, ¿a qué superposición de funciones propias colapsó el sistema?
@ G.Smith correcto, mi pregunta también se aplica al átomo de hidrógeno cuando mido una energía mayor que cero

Respuestas (1)

Depende del tipo de medición que realice. El caso idealizado es descrito por el PVM (medida del valor del proyector) asociado unívocamente al observable visto como un operador autoadjunto a través del teorema espectral . El PVM es una colección de proyectores ortogonales PAG mi , dónde mi es un conjunto de Borel del eje real, típicamente un intervalo finito, definido en la práctica por la precisión del instrumento. Esta colección de proyectores cumple unas propiedades matemáticas similares a las de una medida positiva.

Si el estado inicial está representado por ψ y el resultado es mi , el estado posterior a la medición siempre se describe mediante el vector PAG mi ψ ≠ 0 hasta la normalización.

Aquí | | PAG mi ψ | | 2 es la probabilidad de obtener el resultado mi cuando el estado inicial está representado por el vector normalizado ψ .

Todo eso no es más que el postulado de Luders-von Neumann .

Si el espectro es continuo, puntos únicos mi = { λ } tener automáticamente cero proyector PAG mi = 0 , por lo que los "vectores no normalizables" no se pueden producir de esta manera.

Por ejemplo, para el operador de posición, si la medición de posición produjo el resultado mi = [ a , b ] , el proyector correspondiente es

( PAG mi ψ ) ( X ) := x mi ( X ) ψ ( X )
donde la funcion x mi es cero afuera mi y 1 en mi .(Observe que si mi es un solo punto, el proyector asociado es cero ya que los puntos simples tienen una medida de Lebesgue cero).

Vale la pena enfatizar que esta descripción es válida también cuando el espectro es un espectro puntual. En ese caso, los puntos únicos (valores propios) tienen proyectores distintos de cero: los que están en los espacios propios.

Una POVM (medida de valor de operador positivo) y su descomposición (no es única) en términos de operadores de Kraus proporcionan una descripción más realista , pero también esta descripción no da lugar a vectores de estado no normalizados.

Entonces, ¿depende de la presión del instrumento y es solo una porción del estado inicial renormalizado? ¿Y qué significan "PVM y POVM"?
A cada observable visto como un operador autoadjunto hay un PVM asociado. es decir, un mapa que envía cada conjunto de Borel mi a un proyector ortogonal PAG mi satisfaciendo algunas propiedades. La medida define mi en relación con el instrumento concreto. Nótese que esta descripción es válida también cuando el espectro es un espectro puntual. En ese caso, los puntos únicos (valores propios) tienen proyectores finitos: los que están en los espacios propios.
Un POVM es un mapa que asocia conjuntos de Borel (resultados) a operadores positivos (PO) en lugar de proyectores (P). PVM = medida del valor del proyector... Pero esta descripción es un poco más complicada y no quiero entrar en detalles.
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