Circuito RC con condensador con pérdidas

este circuito

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

puede considerarse como un circuito en serie RC con un condensador con pérdidas. La expresión de tiempo para$V_C(t)$con$R_2 \to \infty$está disponible aquí y es$V_C(t) = V_0 (1 - e^{-t/\tau})$.

Me gustaría obtener la misma expresión, pero en esta situación.

$V_0$es el generador de voltaje de CC; el interruptor está cerrado para$t \geq 0$y$V_C (t = 0) = 0$(condensador inicialmente descargado).

puedo escribir

$$\frac{V_0 - V_C (t)}{R_1} = I(t)$$

$$\frac{V_0}{R_1} - \frac{1}{R_1 C} \frac{dQ(t)}{dt} = I(t)$$

cual es la corriente a traves$R_1$y así el total de corriente entrando$C // R_2$.$V_C (t)$es variable durante la carga del condensador. El hecho es que aquí$I(t)$no es simplemente$dQ(t) / dt$, porque no toda la carga que sale de$R_1$pasa a través del condensador: parte de él fluye a través$R_2$y esta cantidad de carga "filtrada" cambia (aumenta) con el tiempo. Entonces, ¿cómo se puede tener esto en cuenta?

¿Hay alguna pista para obtener una ecuación diferencial para la carga o la corriente del capacitor ?