¿Centro de masa caótico en interacciones gravitatorias de n-cuerpos?

Escribí una simulación de partículas gravitacionales. Para evitar que las partículas salgan despedidas de la pantalla, agregué un poco de fricción (también hace que la animación sea más bonita a medida que las partículas se enroscan entre sí :)). La fricción total aplicada a las partículas es del 0,05 % por paso o aproximadamente del 26 % por segundo.

Dado que las partículas comienzan dispersas en ubicaciones aleatorias, esperaba que el centro de masa se moviera, pero no de forma caótica. El choque de partículas se simula con precisión. ¿Se puede ver este comportamiento en la vida real o es el resultado de la fricción o algún otro factor en el que no pensé? Este es el resultado de la simulación de partículas:

El verde es el centro de masa, el blanco son partículas individuales.Resultado de la simulación de partículas

EDITAR:

Para responder a algunas de sus preguntas, las partículas pueden continuar para siempre fuera de la imagen. No se mostrarán, pero afectan y son afectados por cualquier otra partícula.

Mis partículas se atraen entre sí al aplicarles la siguiente fuerza en cada paso como este:

Para k -ésima partícula d -ésima dimensión en norte + 1 -st paso con masa metro dónde Δ yo d es la distancia entre partículas en d -ésima dimensión, Δ yo es la distancia total entre partículas, D es el número de dimensiones, y m el factor de fricción, la velocidad

v k , d , norte + 1 = ( v k , d , norte + ∑ i = 1 k − 1 metro k metro i Δ yo d Δ yo D + ∑ i = k + 1 norte metro k metro i Δ yo d Δ yo D ) ( 1 − m )

Hice algunas pruebas adicionales en la simulación. Eliminé la fricción, por lo que ya no hay fuerzas "externas", y obtuve esto (tenga en cuenta que las posiciones de las partículas se generaron utilizando una semilla aleatoria, por lo que las condiciones iniciales no son las mismas):

Simulación sin fricción

Subí el paso de tiempo de 600 a 60000 por segundo, pero no sirvió de nada. Supuse que se trataba de errores de redondeo, así que cambié de números de coma flotante a estructuras de datos mucho más precisas con 1000 dígitos de precisión. Como era de esperar, el tiempo de simulación se hizo exponencialmente más largo, pero en realidad no ayudó. Puede ver una animación acelerada de una simulación de alta precisión aquí . Pensé que podría ser el resultado del hecho de que las colisiones no tienen elasticidad, pero pensándolo bien, no debería cambiar el centro de masa. ¿Es realmente el problema del paso de tiempo aún demasiado pequeño?

No soy un experto, pero los sistemas de n cuerpos con n por encima de 2 son caóticos, por lo que espera que se acumulen múltiples errores numéricos con el tiempo. De hecho, es muy común en estas simulaciones numéricas corregir los movimientos para que el CM permanezca siempre en el centro de su simulación.
Sí, este es realmente un problema difícil de resolver correctamente en la simulación. ¿Qué esquema de integración estás usando?
Cuando una partícula sale volando de la pantalla, ¿rebota, se envuelve o continúa para siempre?
Presumiblemente, hay una ecuación exacta, incluidos los términos de fricción, que está modelando numéricamente. Si pudiera escribir eso para nosotros, podríamos ver si conserva el impulso. Dos partículas podrían ser suficientes.

Respuestas (2)

Según la conservación del momento , el centro de masa de un sistema no puede acelerarse sin fuerzas externas. En otras palabras, si el centro de masa comienza en reposo (que generalmente es un buen procedimiento en las simulaciones), siempre debe permanecer en reposo.

Es normal que los errores numéricos introduzcan desviaciones, pero el movimiento que está viendo parece muy grande (¡una imagen realmente genial, por cierto!). La introducción de fricción (efectivamente, una fuerza externa) también puede introducir desviaciones de la conservación del impulso, dependiendo de cómo se implemente. Ambos efectos (fricción y error numérico) pueden introducir perturbaciones caóticas en el centro de masa.

Lo primero que puede intentar es ver si la disminución de su paso de tiempo hace que el centro de masa permanezca más estacionario. El criterio tradicional para determinar qué paso de tiempo (máximo) usar en simulaciones hidrodinámicas es la "Condición CFL" ; Parece que la gente generaliza esto a las simulaciones de N-cuerpos usando la velocidad máxima de las partículas en lugar de la velocidad del sonido, y la separación mínima entre las partículas en lugar del tamaño de la cuadrícula. Esto da como resultado una condición como,

Δ t ≤ Δ X min v máximo

Esta condición puede hacer que la simulación se vuelva muy "costosa" (pasos de tiempo lentos) cuando las partículas se juntan y sus fuerzas mutuas (aceleraciones y velocidades) son muy grandes. A menudo, para aliviar esto, las personas introducirán el "ablandamiento gravitacional" , donde la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos se calcula como,

F = GRAMO metro 1 metro 2 ( r + a ) 2

dónde a es la 'longitud de ablandamiento', y debe ser pequeña en comparación con el 'tamaño de interés' (por ejemplo, la separación inicial de partículas).

Una solución rápida y sucia para el movimiento del centro de masa es calcular la velocidad del centro de masa en cada paso de tiempo y restar esa velocidad de todas las partículas. Esto efectivamente vuelve a centrar la simulación en el centro de masa en cada paso de tiempo.

Supongo que la fricción es una fuerza dependiente de la velocidad externa en su código de simulación. Dado que tiene tales fuerzas externas, es probable que su energía total, su momento angular total, su momento total no se conserven.

En su caso, la fricción es una fuerza externa fenomenológica, pero también podría simularse un comportamiento similar con una partícula grande, moviéndose en una nube de partículas más pequeñas. Gradualmente, la energía cinética de esta partícula se distribuiría equitativamente entre los grados de libertad de este sistema. En este caso, la energía total y el momento total del sistema se conservarán, ya que no hay fuerzas externas.

En general, recomendaría ir paso a paso en implementaciones numéricas, si se requiere corrección. ¿La partícula individual conserva energía? ¿La 'tierra' que orbita alrededor del 'sol' fijo conserva energía y momento angular? ¿Y si 'sol' no es fijo? Al pasar a sistemas caóticos, ¿podría calcular la suma de la energía total y el trabajo realizado por la fuerza de fricción y ver si se conserva?

¿Centro de masa caótico en interacciones gravitatorias de n-cuerpos?
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