Cargo de Noether para campos escalares bajo transformaciones de Lorentz

Es la cantidad conservada de impulso. El factor$1/2$no se usa Para tener una idea de su significado debes anotar su ley de conservación. Comience desde la definición, donde$t= x^0$(Asumo$c=1$):

$$B^i(t) := t\int_{\mathbb R^3}d^3x T^{0i}- \int_{\mathbb R^3}d^3x x^i T^{00}\:, \quad i=1,2,3 \:.$$

La ley de conservación de$B^i$es$\vec{B}(t)= \vec{B}(0)$, a saber:

$$t \vec{P}= \int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}(t, \vec{x}) \:\vec{x}\:-\int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}(0, \vec{x})\:\vec{x}\:$$

diferenciando en$t$y teniendo en cuenta que$\vec{P}$es constante:

$$\vec{P} = \frac{d}{dt} \int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}(t, \vec{x}) \:\:\vec{x}\:\:$$

es decir, a su vez:

$$\vec{P} = M\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{M}\int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}(t, \vec{x})\:\:\vec{x}\:\:\right) \quad (1)$$

Donde he introducido la energía total del sistema en el marco de referencia considerado (que también es una cantidad conservada):

$$M = \int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}\:.$$

(1) no es más que la versión relativista del clásico teorema del centro de masa . La posición del centro de masa es:

$${\vec X}(t) := \frac{1}{M}\int_{\mathbb R^3}d^3x T^{00}(t, \vec{x})\:\:\vec{x}\:\:$$

El producto de la energía total y la velocidad del centro de masa es el total$3$-impulso. Ahora, la noción correcta de "masa" que se utilizará para definir el "centro de masa" es el componente temporal de la$4$-momentum, es decir, la "masa relativista".

APÉNDICE. El mismo resultado existe también en la mecánica clásica para un sistema hecho de algunos puntos de materia. En ese caso, el grupo de invariancia es el de Galileo. El teorema del centro de masa surge de la misma manera al considerar el impulso asociado a la simetría con respecto a las transformaciones de Galileo puras, es decir$t \to t':=t$,$\vec{x}_i \to \vec{x}_i' = \vec{x}_i + t\vec{V}$. La diferencia es que, en mecánica clásica, la masa total$M$es la suma de las masas de los puntos de los sistemas, en relatividad, en cambio para un sistema de puntos materiales que no interactúan, la masa relevante incluye las energías, ya que es el componente temporal del total$4$-impulso. Entonces esta ley de conservación incluye la relación$E=mc^2$.