Cargas conservadas como generadoras de simetrías en la mecánica hamiltoniana

He estado tratando de entender la relación entre las cargas conservadas y las transformaciones de simetría; en particular, cómo las cargas conservadas actúan como generadores de la simetría en el formalismo hamiltoniano y cómo, dada una carga conservada, podemos derivar la simetría asociada. He visto que esto se conoce como el teorema inverso de Noether.

Aquí https://arxiv.org/abs/1601.03616 (sección 2.2) el argumento es el siguiente:

Dada una carga conservada$Q$con

$$\frac{dQ}{d t} = 0\tag{1}$$

y una transformación definida por el cambio infinitesimal en las coordenadas siendo:

$$\delta_{s} q^{i}=\left[q^{i}, \epsilon Q\right]=\epsilon \frac{\partial Q}{\partial p_{i}}, \qquad \delta_{s} p_{i}=\left[p_{i}, \epsilon Q\right]=-\epsilon \frac{\partial Q}{\partial q^{i}} ,\tag{2}$$

el cambio en la acción es:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \delta I &=\int d t\left(\delta_{s} p \dot{q}+p \frac{d}{d t} \delta_{s} q-\frac{\partial H}{\partial p} \delta_{s} p-\frac{\partial H}{\partial q} \delta_{s} q\right) \\ &=\int d t\left(-\epsilon \frac{\partial Q}{\partial q} \dot{q}+\frac{d}{d t}\left(p \delta_{s} q\right)-\epsilon \dot{p} \frac{\partial Q}{\partial p}+\epsilon \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial Q}{\partial q}-\epsilon \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial Q}{\partial p}\right) \\ &=\int d t\left(\epsilon\left(-\frac{d Q}{d t}+\frac{\partial Q}{\partial t}+[Q, H]\right)+\frac{d}{d t}\left(p \delta_{s} q\right)\right) \\ &=\int d t \frac{d}{d t}\left(-\epsilon Q+p \delta_{s} q\right). \end{aligned}\tag{3} \end{equation}$$

Esto me confunde porque parece que el cambio en el Lagrangiano sería una derivada de tiempo total independientemente de si$Q$es una constante del movimiento o no.

$$\frac{\partial F}{\partial t}+[F, H]=\frac{dF}{d t} ,\tag{4}$$

para cualquier función, entonces, en la penúltima línea, ¿no serían todos los términos que involucran$Q$desaparecen del cambio en el Lagrangiano incluso si$Q$no era constante?

Cualquier ayuda sería apreciada. También me gustaría intuir por qué son las cargas conservadas en particular las que generan simetrías incluso cuando el corchete de Poisson con el hamiltoniano es distinto de cero debido a una dependencia temporal explícita.