Capa esférica con campo eléctrico cero en todas partes en su interior

Cuando no hay campos externos, la carga debe distribuirse uniformemente. Si tiene un campo externo y la esfera está hecha de material conductor, actuará como una jaula de Faraday y las cargas se distribuirán para cancelar el campo dentro de la esfera, lo que dará lugar a una distribución de carga no uniforme en la superficie con un campo 0 en el interior. la esfera.

En todos los casos ningún campo en el interior de la esfera implica un potencial constante a lo largo de ella, ya que, por definición, el campo es el gradiente del potencial. Por lo tanto, no puede haber diferencias de potencial a lo largo de la superficie de la esfera y, por lo tanto, el componente de campo tangencial debe ser 0 en todas partes de la superficie.

En ausencia de un campo externo, esto implica una distribución de carga uniforme en la superficie. Con un campo externo, las cargas deben distribuirse de manera que el potencial combinado en la superficie sea constante, de modo que la componente tangencial del campo debido a las cargas anule exactamente la del campo externo en toda la superficie.

Sí, esto está garantizado por el teorema de unicidad de la ecuación de Poisson y, de hecho, es más general que las capas con carga esférica.

Sin embargo, como indica otra respuesta, si hay otras cargas presentes en otro lugar, la carga en la esfera se desplazará para cancelar el campo interior del conductor.

Podemos suponer wlog que el potencial eléctrico

$$\left. \Phi(r,\theta,\varphi) \right|_{r<r_0}~=~0$$

se desvanece en el interior. Como ya se argumentó en la respuesta de Daniel Mahler, una distribución de carga superficial$\rho$con apoyo en$r=r_0>0$está lejos de ser único. De hecho, el lector puede comprobar que cualquier potencial eléctrico de la forma

$$\Phi(r,\theta,\varphi) ~=~ H(r\!-\! r_0) \underbrace{\sum_{m\ell} \left(A_{ml} r^{\ell} +B_{m\ell}r^{-\ell-1} \right) Y_{m\ell}(\theta,\varphi)}_{\text{general solution to Laplace equation}}$$

conduce a una distribución de carga superficial$\rho$con apoyo en$r=r_0$a través de la ecuación de Poisson . Aquí$H$y$Y_{m\ell}$denote la función de paso de Heaviside y los armónicos esféricos , respectivamente.