Álgebra, conmutadores y funciones de prueba

Question

Álgebra, conmutadores y funciones de prueba

chico fisico

Estoy tratando de darle sentido al álgebra de los generadores del grupo conforme y me encuentro con algunos problemas con respecto a cómo calcular los conmutadores.

Por ejemplo, para traducciones de un "operador de prueba" $\phi(x)$ , lo sabemos $\phi(x+a) = \phi(x) + a^\mu \partial_\mu \phi(x) + \cdots$ si simplemente expandimos Taylor. Además, en la imagen de Heisenberg, también podemos escribir

Exp (i a^{m} {PAG}_{m}) ϕ (X) Exp (- i a^{m} {PAG}_{m}) = ϕ (X) + i a^{m} [{PAG}_{m}, ϕ (X)] + \dots

$\exp(i a^\mu P_\mu) \; \phi(x) \; \exp(-i a^\mu P_\mu) = \phi(x) + i a^\mu [ P_\mu, \phi(x)] + \cdots$

de lo que concluimos que $[P_\mu, \phi(x)] = -i \partial_\mu \phi(x)$ . ¿Por qué entonces decimos que $P_\mu = -i \partial_\mu$ Cuál es el generador de traducción? De la definición anterior, la igualdad no se cumple directamente ya que usamos un conmutador para definir $P_\mu$ la acción de $\phi(x)$ , pero la mecánica cuántica introductoria nos enseña que $P_\mu = -i \partial_\mu$ . Mi problema parece ser que no puedo reconciliar esto con conceptos teóricos grupales rigurosos.

Lo que hizo surgir esta confusión fue el cálculo de conmutadores de generadores de álgebra para el grupo conforme. Por ejemplo, tomando $D$ ser el generador de dilataciones, probar que $[D, P_\mu] = i P_\mu$ , hay que aplicar el conmutador $[D, P_\mu]$ en una función de prueba $\phi(x)$ fuera del conmutador después de reemplazar el $D$ y $P_\mu$ por su definición diferencial. Entonces, ¿cómo vamos de $[P_\mu, \phi(x)] = -i \partial_\mu \phi(x)$ a $P_\mu = - i\partial_\mu$ donde la igualdad tiene sentido?

petirrojo

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Respuestas (2)

Álgebra, conmutadores y funciones de prueba

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joshfísica · Answer 1

El problema aquí es que hay dos acciones distintas del grupo de traducción en los campos presentes en sus cálculos.

Definiciones de las acciones del grupo.

Las dos acciones de grupo a las que me refiero son las siguientes. Por simplicidad conceptual, sea $\phi$ denota un campo con valores de operador definido en $\mathbb R$ ; la generalización a dimensiones superiores es directa. Dejar $\mathcal H$ denotamos el espacio de Hilbert de la teoría, entonces asumimos (al menos en teorías para las que queremos hablar de invariancia traslacional) que hay una representación unitaria $\hat U$ del grupo de traducción de $\mathbb R$ actuando sobre el espacio de Hilbert.

Esta representación unitaria induce entonces una acción $\rho_1$ del grupo de traducción que actúa sobre los campos de la siguiente manera:

\begin{aligned} (1) & (ρ_{1} (a) \hat{ϕ}) (X) = \hat{tu} (a) \hat{ϕ} (X) \hat{tu} (a)^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align} (\rho_1(a)\hat \phi)(x) = \hat U(a)\hat\phi(x)\hat U(a)^{-1}. \tag{1} \end{align}$ Por otro lado, podemos definir una segunda acción del grupo de traducción actuando sobre los campos de la siguiente manera:

\begin{aligned} (2) & (ρ_{2} (a) \hat{ϕ}) (X) = \hat{ϕ} (X - a) \end{aligned}

$\begin{align} (\rho_2(a)\hat \phi)(x) = \hat \phi(x-a) \tag{2} \end{align}$

Generadores infinitesimales.

Cada una de las acciones grupales anteriores posee un generador infinitesimal.

Para determinar para que sirve $\rho_1$ , nosotros escribimos $\hat U(a) = e^{-ia\hat P}$ , de modo que $\hat P$ es el generador infinitesimal de $\hat U$ , y notamos que si expandimos el lado derecho de $(1)$ en $a$ tenemos

\begin{aligned} \hat{tu} (a) \hat{ϕ} (X) \hat{tu} (a)^{- 1} & = (\hat{I} - i a \hat{PAG}) \hat{ϕ} (X) (\hat{I} + i a \hat{PAG}) + O (a^{2}) \\ = \hat{ϕ} (X) + i a \hat{ϕ} (X) \hat{PAG} - i a \hat{ϕ} (X) \hat{PAG} + O (a^{2}) \\ = \hat{ϕ} (X) - i a (\hat{PAG} \hat{ϕ} (X) - \hat{ϕ} (X) \hat{PAG}) + O (a^{2}) \\ = \hat{ϕ} (X) - i a [\hat{PAG}, \hat{ϕ} (X)] + O (a^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \hat U(a)\hat\phi(x)\hat U(a)^{-1} &= (\hat I - ia\hat P)\hat \phi(x) (\hat I + ia\hat P) + O(a^2) \\ &= \hat \phi(x) + ia\hat\phi(x)\hat P - ia\hat\phi(x) \hat P + O(a^2) \\ &=\hat \phi(x) -ia\Big(\hat P\hat \phi(x)-\hat \phi(x) \hat P\Big) + O(a^2) \\ &= \hat\phi(x) -ia[\hat P,\hat \phi(x)] + O(a^2) \end{align}$ inspeccionando el término que es de primer orden en

a

$a$ , vemos inmediatamente que el operador

\begin{aligned} \hat{ϕ} (X) \mapsto [\hat{PAG}, \hat{ϕ} (X)] \end{aligned}

$\begin{align} \hat \phi(x) \mapsto [\hat P,\hat \phi(x)] \end{align}$ es el generador infinitesimal de la primera acción de grupo

ρ_{1}

$\rho_1$ . Por cierto, resulta que este operador tiene un nombre especial: el operador adjunto, y a menudo se denota

{a d}_{\hat{P}}

$\mathrm{ad}_{\hat P}$ . Entonces, en general, vemos que

{a d}_{\hat{P}}

$\mathrm{ad}_{\hat P}$ es el generador infinitesimal de

ρ_{1}

$\rho_1$ ya que hemos demostrado que

\begin{aligned} (ρ_{1} (a) \hat{ϕ}) (X) = (\hat{I} - i a {a d}_{\hat{PAG}} + O (a^{2})) \hat{ϕ} (X) \end{aligned}

$\begin{align} (\rho_1(a)\hat \phi)(x) = \big(\hat I -ia \,\mathrm{ad}_{\hat P} + O(a^2)\big)\hat\phi(x) \end{align}$ Por otro lado, todo esto está íntimamente relacionado con el llamado Lema de Hadamard para la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff .

Para determinar el generador infinitesimal para $\rho_2$ , expandimos el lado derecho de $(2)$ en $a$ utilizando la fórmula de Taylor para obtener

\begin{aligned} \hat{ϕ} (X + a) & = \hat{ϕ} (X) - a \partial ϕ (X) + O (a^{2}) \\ = (1 - i a (- i \partial) + O (a^{2})) \hat{ϕ} (X) \end{aligned}

$\begin{align} \hat\phi(x+a) &= \hat \phi(x) - a \partial\phi(x) + O(a^2) \\ &= \left(1-ia(-i\partial) + O(a^2)\right)\hat\phi(x) \\ \end{align}$ de modo que el generador infinitesimal de la acción de grupo

ρ_{2}

$\rho_2$ es

- i \partial

$-i\partial$ . Podemos resumir estos resultados de la siguiente manera. Llamemos al generador infinitesimal de

ρ_{1}

$\rho_1$

P_{1}

$P_1$ y el generador infinitesimal de

ρ_{2}

$\rho_2$

P_{2}

$P_2$ , entonces hemos demostrado que

\begin{aligned} {PAG}_{1} = {a d}_{\hat{PAG}}, {PAG}_{2} = - i \partial \end{aligned}

$\begin{align} P_1 = \mathrm{ad}_{\hat P}, \qquad P_2 = -i\partial \end{align}$ Note, en particular, que estos no son los mismos objetos matemáticos.

Campos que se transforman de manera especial bajo traducciones.

Aunque las acciones del grupo $\rho_1$ y $\rho_2$ son distintos y tienen generadores distintos, a veces ocurre en la teoría de campos que se consideran campos $\hat \phi$ que se transforma de la siguiente manera:

\begin{aligned} \hat{tu} (a) \hat{ϕ} (X) \hat{tu} (a)^{- 1} = \hat{ϕ} (X - a) . \end{aligned}

$\begin{align} \hat U(a)\hat\phi(x) \hat U(a)^{-1} = \hat\phi(x-a). \end{align}$ Observe que el lado izquierdo de esto es solo la acción de

ρ_{1}

$\rho_1$ en

\hat{ϕ}

$\hat\phi$ , y el lado derecho es la acción de

ρ_{2}

$\rho_2$ en

\hat{ϕ}

$\hat\phi$ , por lo que para esta clase especial de campos, ¡las dos acciones de grupo concuerdan! En este caso especial, también se sigue que los generadores infinitesimales de

ρ_{1}

$\rho_1$ y

ρ_{2}

$\rho_2$ acordar estos campos especiales;

\begin{aligned} {PAG}_{1} \hat{ϕ} (X) = {PAG}_{2} \hat{ϕ} (X), \end{aligned}

$\begin{align} P_1 \hat\phi(x) = P_2\hat\phi(x), \end{align}$ o más explícitamente

\begin{aligned} {a d}_{\hat{PAG}} \hat{ϕ} (X) = - i \partial \hat{ϕ} (X) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{ad}_{\hat P}\hat\phi(x) = -i\partial\hat\phi(x). \end{align}$

DrEntropía · Answer 2

No tengo tiempo para dar una respuesta completa, pero la esencia de esto es, $P_\mu = -i \partial_\mu$ no es cierto para los campos cuánticos de los que estás hablando. Este documento podría ser de ayuda: http://arxiv.org/pdf/hep-th/0206008.pdf

Álgebra, conmutadores y funciones de prueba

chico fisico

petirrojo

Respuestas (2)

joshfísica

DrEntropía

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