¿Cambia el peso de un reloj de arena cuando cae arena dentro?

Analizar la aceleración del centro de masa del sistema podría ser la forma más fácil de hacerlo, ya que podríamos evitar preocuparnos por las interacciones internas.

Usemos la segunda ley de Newton:$\sum F=N-Mg=Ma_\text{cm}$, dónde$M$es la masa total del recinto del reloj de arena y la arena,$N$es lo que lee en la escala (fuerza normal), y$a_\text{cm}$es el centro de aceleración de masas. He escrito las fuerzas tales que hacia arriba es positivo

El centro de masa del recinto+arena se mueve hacia abajo durante el proceso, pero lo que importa es la aceleración. Si la aceleración es hacia arriba,$N>Mg$. Si es hacia abajo,$N<Mg$. Aceleración cero significa$N=Mg$. Por lo tanto, si calculamos la dirección de la aceleración, sabemos cómo se compara la lectura de la escala con la fuerza gravitacional.$Mg$.

La arena que todavía está en la parte superior y ya en el fondo, así como el recinto, no sufre aceleración. Así, la dirección de$a_\text{cm}$es la misma que la dirección de$a_\text{falling sand}$. Centrémonos en un poco de arena cuando comienza a caer (inicial) y luego se detiene en el fondo (final).$v_\text{i, falling}=v_\text{f, falling}=0$, asi que$a_\text{avg, falling}=0$. Por lo tanto, la aceleración (promedio) de todo el sistema es cero. La báscula lee el peso del sistema.

El párrafo anterior asumió la condición de estado estacionario que buscaba el OP. Durante este proceso, el centro de masa aparentemente se mueve hacia abajo a velocidad constante. Pero durante el "giro" inicial del reloj de arena, así como el bit final donde caen los últimos granos, la aceleración debe ser distinta de cero para "iniciar" y "detener" este centro de movimiento de masas.

Imagina un reloj de arena con una sola piedra adentro. Cuando la piedra comience a caer, una balanza se detendrá para medir su peso, pero medirá un pico correspondiente al momento en que toque el fondo. Cuanto mayor sea el tiempo aire, mayor será el pico. Es como concentrar el peso de la piedra en un intervalo de tiempo muy concreto: cuando golpea. Sin embargo, el peso medio durante el tiempo de caída es exactamente el peso total con la piedra en el fondo.

Volviendo a la arena, lo único que cambia es que, en lugar de un pico grande, tienes muchos picos pequeños en el peso. Por lo tanto, no tiene que esperar un tiempo de caída para obtener el peso estático como promedio y una báscula promediará por sí misma la inercia mostrando siempre el mismo peso. Sin embargo, si encuentra una escala con una resolución sobresaliente tanto en masa como en tiempo de acuerdo con el tamaño de los granos, es posible que pueda ver estos picos.

Bueno, cómo probar que solo estamos concentrando el peso en el tiempo. Creo que un argumento bastante simple, aún efectivo, se encuentra en la relación de nivel de secundaria:

La cantidad de movimiento que adquiere la roca durante la caída libre es:

durante el impacto la velocidad se mata en un tiempo$t$y así el impulso, llamando$a$la aceleración involucrada que tenemos (módulo cualquier signo que sea trivial de corregir):

Ahora está claro que

Esto significa que, si por un tiempo$T$no estamos midiendo el peso de la piedra, entonces por un tiempo$t$medimos un peso$\frac{T}{t}$veces más grande. El promedio en el tiempo es igual a:

El primer término está relacionado con el tiempo de vuelo (fuerza cero), el segundo es la fuerza que mata el impulso durante un tiempo.$t$y por el mismo tiempo$t$también actúa el peso natural de la roca.

Si hay alguna resistencia del aire, transmitirá alguna fuerza a la balanza mientras la piedra cae, en la expresión promedio moverá alguna fuerza del segundo término al primero. La idea es que durante el tiempo de caída la escala mida el arrastre, pero luego la velocidad es un poco menor cuando la piedra golpea. Esto se probaría de manera similar a la anterior.

En realidad, las fuentes de cambio de peso deben buscarse en la famosa ecuación:$E=mc^2$. La energía de la arena hacia abajo será un poco menor y por lo tanto su masa.

Al mismo tiempo, se podría considerar que al acercarse a la superficie de la Tierra, la gravedad es un poco mayor, por lo que la arena reduce un poco más el peso.

Ambos efectos están lejos de ser medibles.

De hecho, el peso aparente es mayor cuando el reloj de arena está en marcha que en reposo. Vea aquí para una descripción detallada. Este efecto incluso ha sido verificado experimentalmente.

En pocas palabras: el efecto neto del flujo es mover la arena desde la superficie superior (donde tiene una velocidad hacia abajo$v$) a la pila inferior, en reposo. Por lo tanto, la arena está desacelerando y la fuerza sobre la balanza es mayor que en reposo.

Suponga que está parado en una torre que está en una escala. Saltar de. Mientras estás en el aire, ¿qué lee la escala? (Suponga aquí que aterrizará en la escala, por lo que se mantiene la analogía con los granos de arena).

Hay bastantes cosas a considerar aquí.

Primero, el "reloj de arena", si este recipiente está lleno de aire, los resultados serán mucho más complejos de determinar.

En segundo lugar, el diámetro de los granos y su uniformidad influirán en las medidas.

Tercero, el tamaño de la abertura también afectará el flujo de granos.

Cuarto, la sensibilidad de la escala en relación con el tiempo y la masa.

En una situación perfecta, la escala caería y se clavaría para cada grano individual a medida que sale de la abertura y comienza la caída libre y finalmente golpea la arena/fondo del recipiente.

Ahora, para el meollo de la pregunta, sería extremadamente improbable, me atrevo a decir imposible, que una medición con suficiente sensibilidad se desplace perfectamente a la velocidad exacta a la que fluye la arena.

En una nota al margen, al pensar en este experimento a medida que la pila de arena crece en el fondo, perderá algo de impulso cuando el grano golpee a otros y los empuje hacia los lados, lo que eventualmente golpearía otros granos o el fondo y causaría más picos.

Consideré una pregunta similar una vez.

Considere un recipiente hueco (perfectamente rígido) de masa$M$en un campo gravitacional homogéneo lleno de$N$partículas idénticas de masa$m$girando dentro del recipiente como un gas ideal en equilibrio (expuesto únicamente al campo gravitatorio externo). Deje que el recipiente esté en contacto con una máquina de pesaje. Aunque la mayor parte del tiempo la mayoría de las partículas no están en contacto con el contenedor - y por lo tanto con la báscula - se puede demostrar que el peso promedio (a lo largo del tiempo) medido por la báscula del contenedor más su "llenado" es exactamente

Esto resulta de calcular la diferencia de presión en la parte superior del recipiente y en el fondo del recipiente, ejercida por las partículas en el campo gravitatorio.

Hasta el día de hoy encuentro esto asombroso y notable.

Creo que a medida que pasa el tiempo, la capa de la parte inferior del reloj de arena se vuelve más gruesa. Entonces, como resultado de la caída libre, cada grano siguiente tendrá menos velocidad a medida que ha recorrido una distancia menor. Entonces, si consideramos que cada grano se detiene después de tocar el fondo, la cantidad de impacto de cada grano disminuye. Entonces, al principio, el La báscula mostrará una gran pérdida de peso (en comparación con otras). A medida que pase el tiempo, mostrará una menor pérdida de peso y, por último, mostrará el peso completo del sistema en términos estáticos.

Creo que el peso cambia.

Un reloj en marcha tiene más masa que un reloj parado debido a la energía creada por el movimiento de sus partes. Esto sería algo equivalente a su ejemplo. Los granos de arena en movimiento tienen energía cinética y también habría algo de energía térmica creada por la fricción. La energía extra significa masa extra. E=mc2

La arena que cae no hace ninguna diferencia en el peso:

Imagina un solo grano de arena cayendo dentro del reloj de arena. El grano cae debido a la atracción gravitatoria de la Tierra, ¡pero la Tierra es atraída hacia arriba por la misma fuerza y ​​gana impulso hacia arriba! Cuando el grano golpea la parte inferior del reloj de arena, pierde su impulso descendente. Si la Tierra no perdiera también su impulso ascendente, entonces el impulso total no se conservaría. Entonces, el grano de arena debe ejercer un impulso en la parte inferior del reloj de arena que coincida exactamente con el impulso que no ejerció mientras caía. Y ese impulso es claramente su peso.