Cálculo del tiempo para alcanzar cierta velocidad con fuerza de arrastre

Si la fuerza de arrastre se modela como una función lineal de la velocidad$(\vec{F}_D=-b\vec{v})$, entonces el problema es sencillo . El balance de fuerza vertical para una gota que cae es

$$\Sigma F_y=mg-bv=m\dot{v},$$ lo que da la siguiente ecuación diferencial para la velocidad: $$\boxed{\dot{v}+\frac{b}{m}v=g}.$$ En el caso límite de la velocidad máxima/aceleración cero $(\dot{v}=0)$, el equilibrio de fuerzas se simplifica a $$mg=bv_{max},$$ o $$\boxed{v_{max}=\frac{mg}{b}}.$$ Volviendo a nuestra ecuación diferencial, si la velocidad inicial $v(0)=0$, entonces la solución a esta EDO es $$v(t)=\frac{mg}{b}\left[1-e^{-bt/m}\right].$$ Al definir la constante de tiempo como $\tau=\frac{m}{b}$y utilizando la definición de la velocidad terminal, la evolución temporal de la velocidad se simplifica a $$\boxed{v(t)=v_{max}\left[1-e^{-t/\tau}\right]}.$$ La posición, si se desea, se encuentra con bastante facilidad realizando otra integración: $$y(t)=\int{v}dt=v_{max}\int{\left(1-e^{-t/\tau}\right)}dt.$$ Suponiendo que la posición inicial $y(0)=0$y simplificando, la solución para la posición vertical es entonces $$\boxed{y(t)=v_{max}t+v_{max}\tau\left[e^{-t/\tau}-1\right]}.$$ Así que ahora tenemos soluciones analíticas para la aceleración, la velocidad y la posición del objeto que cae en función del tiempo y los parámetros del sistema, todos los cuales son conocidos (excepto por $b$). Tenga en cuenta, sin embargo, que el tiempo solicitado para alcanzar una velocidad de $0.63v_{max}$no es arbitrario. Después de que haya pasado una constante de tiempo, tendremos $$\frac{v(\tau)}{v_{max}}=1-e^{-1}=0.63212=\boxed{63.212\%}.$$ Por lo tanto, simplemente necesitamos calcular el valor de la constante de tiempo y el valor resultante será su respuesta. En cuanto a tus compañeros, no se equivocan. Nuestro objetivo es calcular $\tau$, y si observa detenidamente nuestras matemáticas anteriores, verá que $\tau$de hecho es igual a la velocidad terminal dividida por $g$. Los diagramas de octava de las funciones de posición, velocidad y aceleración se incluyen a continuación como referencia (reemplace $k$con $b$en la segunda parcela).

Por lo general, la resistencia es proporcional a la velocidad al cuadrado y, por lo tanto, la aceleración hacia abajo es

$$a = \dot{v} = g - \beta v^2$$

La solución a tal movimiento es

$$\begin{aligned} x & = \int \frac{v}{a} {\rm d}v = - \frac{1}{2\beta} \ln \left( 1 - \frac{\beta v^2}{g} \right) \\ t & = \int \frac{1}{a} {\rm d}v = - \frac{1}{4\sqrt{\beta g}} \ln \left( \frac{(v\sqrt{\beta}-\sqrt{g})^2}{(v\sqrt{\beta}+\sqrt{g})^2} \right) \end{aligned}$$

Así que conecta la velocidad$v$quieres apuntar y te dará la distancia$x$y$t$para alcanzarlo.

PD. Si no conoce el parámetro de arrastre$\beta$, pero en cambio conoce la velocidad máxima, luego puede estimarla a partir de la velocidad máxima, resolviendo$a = g - \beta\, v_{\rm top} = 0$.

1) Encuentre la fuerza de arrastre a la velocidad terminal. 2) Multiplique esta fuerza por 0,63 (63%) 3) Divida esta nueva fuerza por la masa de la gota de lluvia 4) Use la ecuación cinemática del tiempo de la aceleración de la velocidad para resolver el tiempo

$${(V)=(Vi+a(t))}$$