Movimiento de proyectil con arrastre

Question

Movimiento de proyectil con arrastre

Julio Verne

El objetivo general es escribir un programa de Mathematica que calcule el ángulo de lanzamiento que producirá el mayor rango con el uso de la función [RandomInt], pero estaba teniendo problemas con la física.

En 2D Trajection sin fricción, el mayor rango se produjo en ángulo $45^\circ$ .

Pero usando el modelo cuadrático de fricción,

F_{d r a gramo} = - k v^{2}, k = \frac{1}{2} C_{D} ρ A

$F_{drag} = -kv^2, k = \frac{1}{2}C_D\rho A$

dónde $\rho$ es la densidad del aire, $A$ es el área de la sección transversal del objeto en movimiento (círculo en este caso), y $C_D$ es el coeficiente de arrastre.

v^{2} = v_{X}^{2} + v_{y}^{2}

$v^2 = v_x^2 + v_y^2$

En este punto, no estoy seguro de cómo configurar el problema, ya que $v$ depende de ambos $v_x$ y $v_y$ , y no se pueden modelar como linealmente independientes entre sí.

Algunos parámetros dados del proyectil de esfera: (supongo que estos valores se pueden conectar fácilmente a la ecuación general al escribir el programa)

Velocidad inicial = Entre $30-40 \frac{m}{s}$ Masa = 0.145 $kg$ Radio = 0.0367 $m$ Densidad del aire = $1.2 kg/m^3$ Coeficiente de arrastre = 0,46

¿Cómo incorporaría ambas velocidades en una ecuación? Para cinemática simple, es simplemente:

T o t a yo R a norte gramo mi = v_{X} t

$Total Range = v_xt$ y resolvimos por

v_{x}

$v_x$ usando las propiedades trigonométricas de

v_{0}

$v_0$ . Pero, ¿es correcto modelar esta fuerza de arrastre con las mismas propiedades trigonométricas?

v_{y} = v s i norte θ, v_{X} = v C o s θ

$v_y = vsin\theta, v_x = vcos\theta$

\sum F = metro a = k v^{2} - metro gramo = (\frac{1}{2} C_{D} ρ A ({v s i norte θ}^{2} + {v C o s θ}^{2}) - metro gramo

$\sum F = ma = kv^2 - mg = (\frac{1}{2}C_D\rho A({vsin\theta}^2+{vcos\theta}^2) - mg$

qmecanico

El arrastre cuadrático 2D también se consideró en esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.

Respuestas (3)

Movimiento de proyectil con arrastre

El arrastre cuadrático 2D también se consideró en esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.

joshfísica · Answer 1

En dos dimensiones, la segunda ley de Newton se puede escribir en forma vectorial como

F_{norte mi t} = metro a

$\mathbf F_\mathrm{net} = m\mathbf a$ En este caso, la fuerza neta es

F_{norte mi t} = metro gramo - k v^{2} \frac{v}{v} = metro gramo - k v v

$\mathbf F_\mathrm{net} = m\mathbf g - kv^2\frac{\mathbf v}{v} = m\mathbf g - kv\mathbf v$ por lo que la ecuación de movimiento es

metro a = metro gramo - k v v

$m\mathbf a = m\mathbf g - kv\mathbf v$ En componentes, si elegimos el positivo

y

$y$ dirección sea vertical, y usando

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ como usted señala, obtenemos

metro a_{X} = - k \sqrt{v_{X}^{2} + v_{y}^{2}} v_{X}, metro a_{y} = - metro gramo - k \sqrt{v_{X}^{2} + v_{y}^{2}} v_{y}

$ma_x = -k\sqrt{v_x^2+v_y^2} v_x, \qquad ma_y = -mg-k\sqrt{v_x^2+v_y^2}v_y$ como puede ver, estas ecuaciones diferenciales están acopladas; el

x

$x$ la ecuación implica

v_{y}

$v_y$ y el

y

$y$ -ecuación implica

v_{x}

$v_x$ a diferencia del caso en el que no hay arrastre. Debería poder resolver numéricamente estas ecuaciones simultáneas con bastante facilidad en Mathematica.

En particular, puede resolver estas ecuaciones especificando la posición inicial $\mathbf x(0) = (x(0), y(0)$ y la velocidad inicial $\mathbf v(0) = (v_x(0), v_y(0)) = (v(0)\cos\theta, v(0)\sin\theta)$ dónde $\theta$ es el ángulo inicial en el que se lanza el proyectil.

Y si desea encontrar en qué ángulo se puede lograr la mayor distancia, puede usar la búsqueda de la sección dorada .

Deiknymi · Answer 2

Usted sabe que el arrastre del aire en la condición controlada dada es el mismo en todas las direcciones, por lo que solo debe calcular el componente de la velocidad en la dirección una perpendicular y otra paralela al eje de referencia y luego calcular la velocidad en ambos lados y luego calcular el radio si esto te ayudo esta bien o si quieres te lo soluciono

Héctor · Answer 3

Sugiero definir una función. $f(\theta)$ eso te da el rango del proyectil para un ángulo dado. Calcular $f$ resolviendo numéricamente la ODE (podría usar un método Runge-Kutta para esta tarea http://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta_methods )

metro \frac{d^{2} \vec{X}}{d t^{2}} = metro \vec{gramo} - k v \vec{v}

$m \, \frac{d^2 \overrightarrow{x}}{dt^2} = m\overrightarrow{g} - k v \, \overrightarrow{v}$ con condición inicial

\vec{X} (0) = (0, 0) \vec{v} (0) = v_{X} porque (θ) + v_{y} pecado (θ)

$\overrightarrow{x}(0)=(0,0) \quad \overrightarrow{v}(0)=v_x \cos(\theta) + v_y \sin(\theta)$ A continuación, utilice la búsqueda ternaria en este

f

$f$ para obtener su resultado: http://en.wikipedia.org/wiki/Ternary_search . Debería poder implementar este algoritmo en el lenguaje de programación de su preferencia.

Movimiento de proyectil con arrastre

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fibonático

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