Ecuación para un cuerpo que cae incluyendo la velocidad terminal

Primero, aclaremos el origen de las diferentes expresiones de velocidad terminal y velocidad en función del tiempo para un cuerpo que cae.

Se espera que la fuerza de fricción sea una función creciente de la velocidad del cuerpo y, como resultado, existe una velocidad para la cual esta fuerza equilibra exactamente la gravedad.$mg$. Ahora bien, para calcular esta velocidad terminal, o para recuperar$t\mapsto v(t)$, es necesario saber más sobre la expresión de la fuerza de rozamiento. Los modelos más comunes de esta fuerza son:

• La ley cuadrática,$F = \frac{1}{2}AC_d \rho v^2$. Esas son las mismas variables que en tu pregunta. Desde$C_d$es aproximadamente constante en el régimen de alta velocidad, la$v^2$factor representa aproximadamente toda la dependencia de la velocidad, y la fuerza es proporcional a$v^2$. También podemos escribir$F = K_{square}v^2$. Pero entonces, esto se aplica a movimientos lo suficientemente rápidos, aquellos para los cuales el número de Reynolds$Re$es largo. Como es proporcional a la inversa de la viscosidad del medio, y como el aire de la atmósfera es poco viscoso/denso,$Re$es efectivamente grande para la mayoría de los experimentos de caída en el aire y esta es la expresión correcta para$F$
• la ley lineal,$F = K_{linear}v$. Esta ley se aplica al régimen de baja velocidad y es principalmente relevante para fluidos de alta viscosidad.

Si bien la primera expresión produce la misma expresión que empleó para la velocidad terminal (la raíz cuadrada se origina a partir de la potencia cuadrada en$v$en$F(v)$), no es consistente con una dependencia temporal exponencial. La expresión correcta es, según lo dado por wikipedia :

$$v(t) = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho C_d A}{2 m}} \right)$$ La evolución temporal exponencial de la velocidad se obtendría utilizando la expresión lineal de la fuerza (entonces la ecuación de movimiento es una ecuación diferencial lineal de primer orden en $t\to v(t)$).

Puedes integrar la expresión correcta para$v(t)$recuperar la distancia de caída con el tiempo (será de la forma$d(t) \propto \ln (\cosh (t/\tau))$)

Con respecto a su comparación en http://i.stack.imgur.com/j7Uhh.png , no tiene sentido, ya que está comparando una velocidad (que tiende a ser constante) con una distancia ($\frac{1}{2}gt^2$).

Así que creo que tengo una respuesta, pero no estoy completamente convencido de que sea la correcta.

Un amigo (¡gracias Ricky!) me señaló varios lugares en línea donde la gente había resuelto este problema:

• Cuerpo que cae con resistencia del aire
• Gráficos de velocidad-tiempo para objetos que caen
• Cálculo del tiempo para alcanzar cierta velocidad con fuerza de arrastre

Cada gráfica de$v(t)$contra$t$se ve más o menos así:

y sigue la fórmula:

$$v(t) = v_t\cdot(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$$

dónde$\tau=\frac{v_t}{g}$y$v_t$es la constante de velocidad terminal calculada en mi pregunta original.

Nota al margen: la posición se obtiene integrando esa fórmula, lo que te da:

$$y(t) = v_t \cdot (t + \tau \cdot (e^{-\frac{t}{\tau}}-1))$$

Eso se ve bien hasta ahora, y es probablemente lo más cerca que voy a estar sin entrar en matemáticas locas, pero la parte que no me sienta bien es cuando esta función de velocidad se grafica con el ideal$\frac{1}{2}gt^2$función:

La función ideal es más rápida que la función ideal durante los primeros ~1,5 segundos. Eso no tiene un sentido intuitivo para mí: ¿ cómo podría la adición de la fuerza de arrastre hacer que la velocidad inicialmente se acelere más rápido?

De todos modos, haré un trabajo de campo tomando datos experimentales de dejar caer guijarros desde lugares altos y bajos y crearé una función híbrida que se aproxime a la realidad lo más cerca que pueda. Puedo terminar haciendo una función por partes que usa la función ideal durante los primeros 1.5 segundos, luego cambia a esta nueva función asintótica.

Comenzaría midiendo el guijarro y pesándolo para determinar su tamaño. Luego preguntaría "¿Simplemente lo estoy dejando caer?" como Galileo o estoy tratando de hacer una inferencia basada en lanzarlo y luego estimar los efectos al aterrizar.

Si es lo primero, entonces debería obtener un número, ya que no importa el tamaño de la roca, todas caen a la misma velocidad.