Quiero calcular la cantidad de años requeridos antes de que una inversión alcance un cierto valor asumiendo mayores pagos.
Ignorando el aumento de pagos, puedo calcular usando NPER(Hojas de cálculo de Google, Excel).
Por ejemplo, dado 179.936,93 como inversión inicial, 57.660 como pago anual, retorno de la inversión del 7 %: el número de años necesarios para alcanzar un valor futuro de 2.201.322 es:
NPER(0.07, 57660,-179936.93, -2201322)=~ 22.85años, por lo tanto, 23 años.
¿Cómo puedo calcular los años requeridos si el pago anual se incrementa en un % constante para cada año?
Desafortunadamente, money.SE no es compatible con MathJax como lo hace math.SE, pero intentaré explicarlo de todos modos. Considere primero el escenario de pago nivelado. Sea K el monto inicial de la inversión, L el nivel de pago anual (atrasado, es decir, al final de cada año) y AV el valor acumulado deseado. Suponga además que el interés se acumula a una tasa de interés efectiva anual del i%. Entonces la ecuación de valor es
K(1+i)^n + L((1+i)^n - 1)/i = AV,
y el objetivo es resolver esta ecuación para n. esto nos da
n = (log(L + i AV) - log(L + i K))/log(1 + i).
Para su caso, esto da n = 16,3 años, no 23 años como muestra su cálculo. La razón es que su elección de signos es incorrecta: la sintaxis correcta debería ser:
NPER(i, -L, -K, AV)
porque ya tienes K en ahorros, estás aportando L al fondo, y el valor acumulado (futuro) de esto es positivo al final del plazo. Si el tercer argumento es positivo, esto representa un saldo pendiente de un préstamo, en lugar de una cantidad ya invertida; dicho de otra manera, en su esquema de inversión, el fondo le está pagando el interés, no al revés, por lo que el segundo y el tercer argumento deben ser negados.
También puede confirmar haciendo un cálculo simple con i = 10% y pagos de L = 10 por año sumado a una inversión inicial de K = 100. Al final de 2 años, debería tener
AV = 100(1.1)^2 + 10(1.1) + 10 = 142.
Pero si usa NPER(i, L, -K, -AV), obtendrá un error.
Ahora veamos el escenario de pago no nivelado. En este caso, suponga que los pagos regulares al fondo de inversión aumentan un j% por año. Es decir, el primer pago es L, el segundo es L(1+j), el tercero es L(1+j)^2, y así sucesivamente. Entonces queda claro que la parte de la anualidad del flujo de efectivo ha acumulado valor
L(1+i)^(n-1) + L(1+j)(1+i)^(n-2) + L(1+j)^2 (1+i)^(n-3) + ...
es decir, podemos sacar un factor común de L(1+j)^(n-1), y definir una nueva tasa efectiva r = ((1+i)/(1+j)) - 1:
L(1+j)^(n-1) ((1+r)^(n-1) + (1+r)^(n-2) + ... + (1+r) + 1).
Por lo tanto, la ecuación de valor es
K(1+i)^n + L(1+j)^(n-1) ((1+r)^n - 1)/r = AV
o equivalente,
K(1+i)^n + L((1+i)^n - (1+j)^n)/(i-j) = AV, j not equal to i,
K(1+i)^n + n L (1+i)^(n-1) = AV, j = i.
Vale la pena mencionar que en esta segunda forma encontramos que recuperamos fácilmente la fórmula del escenario de pagos nivelados al establecer j = 0.
Desafortunadamente, no es posible una solución exacta de forma cerrada para esta ecuación para n; podemos usar métodos numéricos para obtener la solución para ciertas elecciones de K, L, i, AV y j. Para sus opciones específicas, obtengo los siguientes valores de n para varias opciones de j:
j = 0.01: n = 15.8139
j = 0.02: n = 15.3405
j = 0.03: n = 14.8875
j = 0.04: n = 14.4557
j = 0.05: n = 14.0452
j = 0.06: n = 13.6557
j = 0.07: n = 13.2866
j = 0.08: n = 12.9374
j = 0.09: n = 12.6069
j = 0.10: n = 12.2944
j = 0.15: n = 10.9653
j = 0.20: n = 9.94298
j = 0.25: n = 9.13903
j = 0.30: n = 8.49240
j = 0.35: n = 7.96161
j = 0.40: n = 7.51813.