Cálculo del área del cielo visible

Aproximación de la Tierra como una esfera con radio$R$, luego cuando se ve desde una altura$h$sobre la superficie, la Tierra bloquea un cono de algún ángulo de apertura$2\vartheta$, donde$\csc\vartheta = 1+\frac{h}{R}$. Por lo tanto, la porción visible tiene un ángulo sólido de

$$\Omega = 2\pi\left(1+\cos\vartheta\right) = 2\pi\left(1+\frac{\sqrt{h^2+2Rh}}{R+h}\right)$$ estereorradianes. dividir esto por $4\pi$para obtener el área fraccionaria del cielo visible, en comparación con lo que podría tener si la Tierra no estuviera bloqueando su vista, ya que una esfera completa subtiende un ángulo sólido de $4\pi$estereorradianes. Esa es probablemente una medida más natural del cielo visible que un área literal.

Para un área real, necesita algún tipo de distancia de referencia$r$para medir desde, con el cielo visible a una distancia$r$lejos teniendo área$A = \Omega r^2$.

Para el área del cielo definida por "áreas visibles sobre su cabeza dentro de la atmósfera de la Tierra", la respuesta depende de la altura de los objetos que le gustaría observar. Me gusta observar aviones, así que sin pérdida de generalidad usaré ~10,000 metros como mi "cielo".

Podemos ver aviones hasta a unos 40 KM de distancia.

π * (40)^2 ~= 5000 KM^2

La altitude:arearelación es una relación al cuadrado, por lo tanto, si decides que solo te interesan 1000 metros como tu "cielo" (tal vez te guste fotografiar pájaros), entonces tienes alrededor de 3 KM^2 de cielo disponibles para ti.