Cálculo del error sistemático esperado en un experimento de péndulo

Question

Cálculo del error sistemático esperado en un experimento de péndulo

broncerelojesofbenin

Estoy un poco confundido por la parte c del problema 4.28 del libro Introducción al análisis de errores de Taylor. Un estudiante mide la aceleración de la gravedad utilizando una bola de acero suspendida de una cuerda ligera. Registra cinco longitudes diferentes (51,2, 59,7, 68,2, 79,7, 88,3) (todo en cm) y cinco períodos diferentes (1,448, 1,566, 1,669, 1,804, 1,896) (todo en segundos). Él usa la fórmula

gramo = \frac{4 π^{2} yo}{T^{2}}

$g=\frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Para calcular la media y SDOM de la aceleración debida a la gravedad, que calculé para ser $965.6\pm 1.5\,cm/s^2$ . He verificado dos veces este valor y estoy bastante seguro del resultado. Al estudiante le preocupa que el valor aceptado $g=979.6\,cm/s^2$ no está contenido dentro de la incertidumbre calculada y busca el error sistemático.

La pregunta: ¿qué tan grande tendría que ser un error sistemático en la longitud l para que los márgenes del error total solo incluyan el valor aceptado de g? Lo que hice fue establecido

A v gramo (\frac{4 π^{2} (yo + Δ yo)}{T^{2}}) + S D O METRO (gramo) = 979.6

$Avg(\frac{4\pi^2(l+\Delta l)}{T^2})+SDOM(g)=979.6$

\to A v gramo (\frac{4 π^{2} yo}{T^{2}}) + A v gramo (\frac{4 π^{2} Δ yo}{T^{2}}) + S D O METRO (gramo) = 979.6

$\rightarrow Avg(\frac{4\pi^2l}{T^2})+Avg(\frac{4\pi^2\Delta l}{T^2})+SDOM(g)=979.6$

A v gramo (\frac{4 π^{2} Δ yo}{T^{2}}) = 12.5

$Avg(\frac{4\pi^2\Delta l}{T^2})=12.5$

\to Δ yo = 0.894

$\rightarrow \Delta l=0.894$

Esto es alrededor del 1,3% de la longitud media. Sin embargo, en el libro dice que mi respuesta debe ser aproximadamente 1.5%. ¿Estoy haciendo algo mal? ¿Mi procedimiento o cálculo es incorrecto, o estoy analizando demasiado la discrepancia entre mi valor y el del libro?

vasiliy

¿Tal vez error de cálculo: 979.6 - 965.64 = 13.96?

broncerelojesofbenin

@Vasiliy Usé las cifras significativas correctas ahora, pero solo obtengo 1.3% en lugar del 1.5% esperado

Respuestas (1)

Cálculo del error sistemático esperado en un experimento de péndulo

@Vasiliy Usé las cifras significativas correctas ahora, pero solo obtengo 1.3% en lugar del 1.5% esperado

Lugo · Answer 1

Tal vez este problema se resuelva así

Mira la Sec. 4.6 (Errores Sistemáticos)

En la parte (c) Problema 4.28 Debemos encontrar el error sistemático de longitud del péndulo ( $\delta l_{sys}$ ). Dado que el valor de $\delta g_{tot}$ es $|g_{accepted} - \bar{g}|$ .

Usando el argumento anterior y la Ec. 4.26 $\left[ \delta g_{tot} = \sqrt{\delta g_{sys}^2 + \delta g_{ran}^2} \,\,\right]$ ,

\begin{aligned} d {gramo}_{t o t} & = \sqrt{d {gramo}_{s y s}^{2} + d {gramo}_{r a norte}^{2}} \\ | {gramo}_{a C C mi pag t mi d} - \bar{gramo} | & = \sqrt{d {gramo}_{s y s}^{2} + σ_{\bar{gramo}}^{2}} \\ d {gramo}_{s y s} & = \sqrt{{d i s C r mi pag a norte C y}^{2} - σ_{\bar{gramo}}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \delta g_{tot} &= \sqrt{\delta g_{sys}^2 + \delta g_{ran}^2} \\ |g_{accepted} - \bar{g}| &= \sqrt{\delta g_{sys}^2 + \sigma_{\bar{g}}^{\,\,\,2}} \\ \delta g_{sys} &= \sqrt{\mathrm{discrepancy}^2 - \sigma_{\bar{g}}^{\,\,\,2}} \end{align}$

y técnicas de error de propagación para la ecuación $g = 4\pi l/T^2$ da la fórmula para $\delta g_{sys}$

\begin{aligned} \frac{d {gramo}_{s y s}}{\bar{gramo}} = \sqrt{{(\frac{d {yo}_{s y s}}{\bar{yo}})}^{2} + {(2 \frac{d T_{s y s}}{\bar{T}})}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta g_{sys}}{\bar{g}} = \sqrt{\left(\frac{\delta l_{sys}}{\bar{l}}\right)^2 + \left(2\frac{\delta{T_{sys}}}{\bar{T}}\right)^2} \end{align}$

Como no había ningún problema con la medición del período $T$ ( $\delta T_{sys} = 0$ ), tenemos el error de propagación para $\delta g_{sys}$

\begin{aligned} \frac{d {gramo}_{s y s}}{\bar{gramo}} = \frac{d {yo}_{s y s}}{\bar{yo}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta g_{sys}}{\bar{g}} = \frac{\delta l_{sys}}{\bar{l}} \end{align}$

Por lo tanto, la sistemática de la longitud $l$ (en unidades porcentuales) es

\frac{d {yo}_{s y s}}{\bar{yo}} = \frac{\sqrt{{d i s C r mi pag a norte C y}^{2} - σ_{\bar{gramo}}}}{\bar{gramo}} \cdot 100 %

$\frac{\delta l_{sys}}{\bar{l}} = \frac{\sqrt{\mathrm{discrepancy}^2 - \sigma_{\bar{g}}}}{\bar{g}} \cdot 100\%$

Sustituyendo todo el valor que ha dado y obtenido de la pregunta anterior, tenemos el resultado final

\begin{aligned} \frac{d {yo}_{s y s}}{\bar{yo}} & = 1.43793098102868 % \\ \approx 1.4 % \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\delta l_{sys}}{\bar{l}} &= 1.43793098102868 \% \\ &\approx 1.4\% \end{align}$

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vasiliy

broncerelojesofbenin

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Lugo

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