Cálculo de la energía orbital específica, el semieje mayor y el período orbital de un cuerpo en órbita

Sí, puedes derivar todas estas cantidades. La energía orbital específica$E$es

$$\begin{align} E &= \frac{1}{2}v^2 - \frac{\mu}{r}= -\frac{\mu}{2a}, \end{align}$$ dónde $\mu = GM^3/(M+m)^2$, y $a$es el semieje mayor. El período orbital se sigue de la Tercera Ley de Kepler: $$T^2 = (2\pi)^2\frac{a^3}{\mu}.$$ Si también conoces la velocidad radial $v_r$y la velocidad tangencial $v_T$por separado en $r$, entonces también puede calcular el momento angular relativo específico $h$y la excentricidad orbital $e$: $$\begin{align} h^2 &= r^2\,v^2_{T} = \mu a(1-e^2). \end{align}$$

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Editar

Varias personas han intentado cambiar$\mu$en$\mu = G(M+m)$. Esto es incorrecto, porque esa es la fórmula para el movimiento relativo en lugar del movimiento con respecto al centro de masa . Las ecuaciones de movimiento del problema de dos cuerpos son

$$\begin{align} m\ddot{\boldsymbol{r}}_m &= - \frac{GmM}{|\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M|^3}\left(\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M\right),\\ M\ddot{\boldsymbol{r}}_M &= \frac{GmM}{|\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M|^3}\left(\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M\right),\\ \end{align}$$ dónde $\boldsymbol{r}_m$y $\boldsymbol{r}_M$son las posiciones del cuerpo pequeño y grande con respecto al centro de masa. Lo que queremos es expresar el movimiento del cuerpo pequeño en términos de $\boldsymbol{r}_m$. Por definición, la posición del centro de masa permanece constante, $$m\boldsymbol{r}_m + M\boldsymbol{r}_M = \boldsymbol{0},$$ de modo que $$\boldsymbol{r}_m - \boldsymbol{r}_M = \frac{M+m}{M}\boldsymbol{r}_m.$$ Por lo tanto, $$m\ddot{\boldsymbol{r}}_m = -GmM\frac{M^3}{(M+m)^3r^3_m}\left(\frac{M+m}{M}\boldsymbol{r}_m\right),$$ o $$\ddot{\boldsymbol{r}}_m = -\frac{\mu}{r^3_m}\boldsymbol{r}_m,$$ con $\mu = GM^3/(M+m)^2$. En mi respuesta, $r = r_m$. Espero que esto aclare las cosas.