Cálculo de la dirección de fricción en un plano inclinado/Determinación del destino de un cuerpo redondo en un plano inclinado

tal que equilibra exactamente el componente de peso de ese objeto

No estoy seguro de que esta suposición sea correcta. La fuerza de fricción (estática) solo mantiene estacionario el punto de contacto , no todo el objeto. Entonces, no parece haber una razón obvia para pensar que esta fricción debe equilibrar todo el peso.

entonces su aceleración sería 0, ¿verdad?

La aceleración del punto de contacto es cero, sí, pero no necesariamente la aceleración del resto del objeto.

Entonces, ¿el objeto se moverá hacia abajo en ese plano?

Tratemos de resolver esto. La pelota se moverá cuesta abajo si hay una fuerza neta en esa dirección desde su centro de masa (segunda ley de Newton). Las únicas fuerzas a lo largo de la pendiente son la fricción estática y el componente de peso. Como se mencionó anteriormente, lamentablemente no sabemos exactamente cómo es la relación entre estas dos fuerzas: no sabemos el tamaño de la fuerza de fricción.

No es fácil ver rápidamente qué tan grande es la fuerza de fricción estática y podría ser más pequeña que el componente de peso. O podría ser más grande. O igual. No supongamos nada, pero averigüémoslo con precisión.

Una forma de averiguar en qué dirección se moverá la pelota podría ser, por ejemplo, observar otra ley que no sea la segunda ley de Newton. Esa otra ley podría ser la versión rotacional de la segunda ley de Newton :

Este es un análisis de balance de torque simple. Elegimos un punto para mirar y luego analizamos las fuerzas que causan torsiones alrededor de este punto.

• Sobre el centro de masa, la fricción estática crea un par desequilibrado en sentido contrario a las agujas del reloj.
• como verificación también podríamos considerar, digamos, el punto de contacto alrededor del cual el peso crea un par desequilibrado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Ellos están de acuerdo. Hay un par desequilibrado en sentido contrario a las agujas del reloj que provoca un giro hacia abajo.

Entonces, ¿todavía se moverá hacia abajo a pesar de que no hay fuerza en la dirección hacia abajo que le daría un movimiento de traslación a lo largo de la pendiente?

Dado que ahora sabemos por lo anterior que hay un giro hacia abajo, también sabemos que debe haber una fuerza neta hacia abajo de la pendiente. De lo contrario, como mencionas correctamente, no habría ningún movimiento de traslación hacia abajo siguiendo el movimiento de rotación y eso es obviamente imposible si asumimos que no hay deslizamiento.

Entonces, ¿de dónde viene esta fuerza neta hacia abajo? Solo hay dos fuerzas que tiran a lo largo de la pendiente: la fricción estática y el componente de peso. Sabemos que la fricción estática tira hacia arriba debido a la naturaleza de la fricción estática como fuerza de reacción. Entonces, este análisis de par nos ha demostrado que el componente de peso hacia abajo debe ser mayor que la fricción estática hacia arriba.

Y ahí está.

Ahora sabemos la dirección de la fricción y el hecho de que es más pequeña que el componente de peso. Si quieres saber el valor exacto de la fricción estática, entonces traería un enlace geométrico que vincula la aceleración de traslación con la aceleración de rotación. Con esa ecuación, creo que tendrías suficiente para resolver la aceleración de traslación hacia abajo. Que luego puede usar en la segunda ley de Newton y resolver la fricción estática.

Este es el error que estas cometiendo:

$mg \sin \theta=\mu mg \cos \theta$

La fricción nunca será igual a$\mu mg \cos \theta$. ¿Por qué?

La fricción será estática y sólo intentará evitar el deslizamiento entre el punto de contacto y el suelo. La aceleración neta del punto de contacto del suelo.$\ne g\sin\theta$debido al par producido por la fricción en sentido antihorario. (Como dijiste)

También este párrafo:

O, ¿podría ser que la fricción actúa hacia abajo inicialmente agregando a su componente de peso y le da aceleración y luego comienza a actuar nuevamente en dirección hacia atrás/hacia arriba para darle un movimiento de balanceo puro? Sin embargo, esto significaría que tiene un par en el sentido de las agujas del reloj que parece absurdo para un objeto que se mantiene solo.

Esto también está mal.

Tienes que considerar dónde se aplica la fuerza sobre un objeto. Para una esfera o un aro, actuará efectivamente en el centro de masa del objeto. Suponiendo que la forma y la densidad sean uniformes, ese es el centro.

Si considera las fuerzas de esta manera, hay fuerzas contrapuestas del peso del objeto en el plano inclinado que se cancelan entre sí, la fuerza de fricción debida a la fuerza normal y la fuerza de gravedad que actúa en el centro de masa del objeto. Debido a que el centro de masa no está en contacto con el plano, sino que se aplica un par de torsión a cierta distancia y produce movimiento. En este caso, es poco probable (a menos que la superficie de la pendiente sea adhesiva) que haya suficiente fuerza de fricción para evitar la rotación de la mayoría de los objetos. Por lo tanto, ruedan por el avión.

Si un objeto redondo (por ejemplo, un anillo o una esfera) se mantiene en un plano de inclinación irregular$\theta$y coeficiente de fricción$\mu$es tal que equilibra exactamente el componente de peso de ese objeto, es decir,$mg \sin \theta=\mu mg \cos \theta$, entonces su aceleración sería$0$, ¿bien?

Una cosa que se insinuó en las otras respuestas pero que no se indicó explícitamente es que la fricción estática no se describe mediante una igualdad sino una desigualdad. Entonces la ecuación de fricción estática debería ser

La fuerza de fricción,$F_f$, tomará cualquier valor menor o igual al valor límite. El valor exacto que toma es el valor necesario para evitar el deslizamiento en el parche de contacto. Esto significa que el valor requerido deberá estar determinado por restricciones, no solo por fuerzas.

En este caso, esa es la condición de rodamiento sin deslizamiento. Eso relaciona la aceleración angular del objeto y su aceleración traslacional. Cuando incluyas eso encontrarás que$F_f$es en realidad menor que ese valor límite, y eso es lo que permite que el objeto ruede cuesta abajo.