¿Calcular el radio y la energía potencial de un átomo?

No, no lo hay. Hay toda una rama de la física dedicada a calcular esas energías: la física atómica. Muchas personas han dedicado toda su carrera a la tarea. Incluso para el siguiente átomo, el helio, que tiene dos electrones (y un núcleo), no existe una fórmula exacta.

No estoy familiarizado con lo que es un radio clásico para un átomo.

El átomo de hidrógeno es fácil de resolver porque es un problema de un solo cuerpo (asumiendo que tomamos el núcleo como fijo). En ese caso, las funciones propias del hamiltoniano son las habituales$1s$,$2s$,$2p$, etc.

Cuando consideramos átomos multielectrónicos, hacemos la aproximación de que podemos escribir la función de onda total como un producto de orbitales atómicos hidrogenados, por lo que para el boro podríamos escribir:

donde el$\psi_{1s}$etc son orbitales atómicos que se asemejan a los orbitales atómicos de hidrógeno. Pero hay dos puntos clave que debe tener en cuenta:

1. esto es solo una aproximación porque la repulsión entre los cinco electrones hace que los orbitales atómicos se mezclen entre sí; no hay orbitales atómicos distintos

2. los orbitales atómicos no son los mismos que los orbitales atómicos del hidrógeno. Ni siquiera son una simple escala de los arbitrales atómicos del hidrógeno.

Para calcular la función de onda para, por ejemplo, el boro, comenzaríamos usando un cálculo de Hartree-Fock para obtener un conjunto de orbitales atómicos que brinden la mejor aproximación a$\Psi_B$. Luego usaríamos un cálculo de interacción de configuración para averiguar cómo se mezclan los orbitales atómicos HF. El resultado final es una función de onda.$\Psi_B$que no se puede factorizar en orbitales atómicos separados.

Así que no hay una ecuación simple del tipo que describes. Para todos los átomos multielectrónicos, el cálculo de la función de onda es un proceso complejo (aunque sencillo en las computadoras modernas).