Calcular el campo eléctrico inducido por un campo magnético cambiante

Quiero trazar el campo eléctrico (como un gráfico de campo vectorial) que es inducido por un campo magnético cambiante para algunos casos simples.

Supongamos, por ejemplo, que el campo magnético cambia linealmente (o cuadráticamente) con t. Entonces puedes calcular el rizo. ∇ × mi → de mi → a través de:

∇ × mi → = − ∂ B → ∂ t

como en esta pregunta . Sin embargo, esto no le da una solución única para mi → .

Supongo que la solución se volverá única si agrego algunas condiciones de contorno. Pero no sé cómo hacer esto en detalle.

Suponga que tiene la configuración experimental, que el campo magnético es (homogéneo y) perpendicular a un área determinada A en el X 1 , X 2 avión (por ejemplo A siendo un área circular o rectangular) y cero para cada punto PAG cual X 1 y X 2 las coordenadas están fuera de A .

Lo que se necesita para que la configuración experimental haga que la solución sea única. ¿Cómo calcular la solución en detalle, cómo se verá?

Editar: dado que no hay cargos en mi ejemplo, también tiene la ecuación ∇ ⋅ mi → = 0 . Pero no veo cómo esto ayuda.

editar2

Esto es lo que probé hasta ahora:

Si supone que el campo eléctrico es simétrico alrededor del X 3 eje (pero ¿ por qué puedo suponer esto?) se podría proceder de la siguiente manera:

Dejar γ Sea una trayectoria circular en el X 1 - X 2 -plano con radio r y centro ( 0 , 0 , 0 ) :

2 π r | mi → | = ∫ γ mi → d s → = − d Φ d t = − π r 2 d | B → ( t ) | d t

lo que implica:

| mi → | = − r 2 d | B → ( t ) | d t

Pero esto da sólo el valor absoluto de mi → y no la dirección. Además, depende linealmente de r lo que significaría que va a ∞ si r va a ∞ . Pero eso me parece muy poco intuitivo.

Además, no hay un punto distinguido, por lo que tal vez debería asumir mejor la invariancia de la traducción ...

editar 3

Pregunta adicional: ¿Cómo resolverlo a través de ecuaciones diferenciales (sin usar la forma integral)?

La forma más fácil es (probablemente) usar primero argumentos de simetría para inducir la dirección del mi -campo (más fácil si A es circular) y luego usar la versión integral de la ley de Faraday.
@ScroogeMcDuck ¿Cómo harías esto en detalle?

Respuestas (1)

Ya casi estás ahí. Para el argumento de simetría: primero observe que la ley de Faraday, ∮ mi ⋅ d yo = − d Φ d t , tiene el mismo aspecto que la ley de Ampère de la electrostática: ∮ B ⋅ d yo = m 0 I .

Ahora considere una corriente (o una densidad de corriente homogénea) que apunta en el positivo X 3 -dirección. ¿Cuál es la dirección del campo magnético que produciría tal corriente? De hecho, usando la regla de la mano derecha (o cualquiera de sus argumentos de simetría favoritos) se deduce fácilmente que el B -campo rodea la corriente, es decir, es simétrico alrededor de la X 3 -eje y puntos en sentido antihorario. Confío en que esté familiarizado con las simetrías de los campos magnéticos producidos por corrientes constantes.

Ahora compare la forma de las leyes de Faraday y Ampère. Debido a que las leyes se ven exactamente iguales, es fácil ver que el campo eléctrico debido a una disminución del flujo en la X 3 -dirección tendrá la misma simetría que un campo magnético debido a una corriente (densidad) en el X 3 -dirección. De ahí que aquí el mi -el campo también será simétrico alrededor del X 3 -eje y apuntará en la dirección azimutal! (Apuntará en el sentido de las agujas del reloj si el flujo aumenta, pero esto se seguirá del cálculo).

Por lo tanto, podemos hacer el cálculo de la misma manera que lo hiciste, dando como resultado

mi = − r 2 d B d t ϕ ^ como notaste (Aquí B ( t ) = B ( t ) X ^ 3 .)

Tenga en cuenta que en su cálculo ya había asumido que mi está en el ϕ ^ dirección cuando dijiste eso 2 π r | mi → | = ∫ γ mi → d s → , ya que esto supone que mi y d s son paralelos.

Lo último que debe notar es que su cálculo se mantiene cuando su contorno γ esta en el circulo A donde cambia el flujo. Dejar R ser el radio de A . Si γ Está afuera A , entonces encierra todo el flujo, por lo tanto d Φ d t = π R 2 d B d t para que por r > R obtenemos

mi = − R 2 2 r d B d t ϕ ^ ,

que se desvanece muy bien como r → ∞ .

Finalmente, observe que si calculáramos el campo magnético producido por una densidad de carga volumétrica j = j 0 X ^ 3 con j 0 constante, y reemplazada en nuestra respuesta j 0 por − 1 m 0 d B d t , obtendríamos exactamente el campo eléctrico de arriba.

Gracias. especialmente la parte de r → ∞ fue útil Sin embargo, no entiendo completamente el argumento de la simetría. Intuitivamente, en el caso de la corriente en el alambre, la corriente es a lo largo del X 3 -axis, que le da un eje distinguido. Sin embargo, este no parece ser el caso en el caso de la ley de Faraday. Entonces, ¿por qué no integrar alrededor de un círculo (dentro de la región del campo magnético) alrededor de un punto que no sea el origen?
Con respecto a su analogía: el campo magnético en el caso del cable lo calcularía a través de la ley de Biot-Savart. ¿Hay una forma análoga para esto en el caso de la inducción?
Otro punto que no está claro es el papel de las condiciones de contorno en esta derivación.
1. Tomamos A como un área en forma de disco con radio R y centrado en el X 3 eje, por lo tanto también aquí X 3 es un eje distinguido, es decir, tenemos simetría rotacional alrededor de este eje. 2. No estoy seguro de que exista, supongo que debería poder obtener esa ley... ¿Quizás las ecuaciones de Jefimenko? El punto es que es mucho más fácil calcular el campo magnético del cable a través de la ley de Ampère y luego usar la analogía.
3. El punto es que cuando usas la versión integral de la ley de Maxwell no necesitas las condiciones de contorno, ya que no estás resolviendo ecuaciones diferenciales. Al usar las versiones diferenciales, puede usar eso si conocemos la divergencia y la rotación de un campo vectorial y el campo vectorial llega a cero lo suficientemente rápido (como 1 / r 2 al menos, creo), el campo vectorial está determinado de forma única. Creo que esto se llama teorema de Helmholtz, la declaración (más) exacta está en Griffiths.
Calcular el campo eléctrico inducido por un campo magnético cambiante
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v