¿Cuántas variaciones de las nuevas ternas pitagóricas primitivas hay cuando la hipotenusa se multiplica por un primo?

Question

¿Cuántas variaciones de las nuevas ternas pitagóricas primitivas hay cuando la hipotenusa se multiplica por un primo?

Matemáticas
números primos
sumas de cuadrados
triples pitagóricos
teoría-de-números-elemental

isamu isozaki

Cuando estaba mirando todos los triples pitagóricos del 1 al 1000, noté una cierta tendencia que parece que no puedo explicar. Dado $a, b, c$ son números enteros donde $c$ es la hipotenusa y $a < b$ , las tendencias fueron

Para todos $(a, b, c)$ es donde $c$ es primo, solo hay un par posible. Aquí, no todos los números primos tienen esta propiedad. Hay números primos en los que no hay tripletes correspondientes, pero no pude encontrar una propiedad consistente entre estos números primos.
Cuando c se multiplica por otro primo que tiene la propiedad de tener un triplete, si ese primo es un primo diferente al primer primo, se formarán dos nuevos pares pitagóricos primitivos. Por ejemplo, para (3, 4, 5) y (5, 12, 13), cuando miramos c = 65 que es 5 por 13, habrá 4 pares que son (52, 39), (56, 33 ), (60, 25), (63, 16) donde (65, 56, 33) y (65, 63, 16) son nuevas ternas pitagóricas primitivas.
Si c se multiplica por el mismo primo, c, solo se producirá 1 nuevo triple pitagórico primitivo.

¿Alguien puede explicarme por qué estas tendencias están aquí? ¡Gracias de antemano! A continuación, documentaré mi enfoque fallido en caso de que ayude a aclarar mi pregunta.

Mi (fallido) enfoque

Para 1, traté de usar una prueba por contradicción donde traté de probar que

C^{2} = a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = a_{2}^{2} + b_{2}^{2}

$c^2 = a_1^2 + b_1^2 = a_2^2 + b_2^2$ era imposible Sin embargo, lamentablemente no pude encontrar ninguna contradicción (aunque supongo que hay una)

Para 2, donde $c_0, c_1$ son primos, al mirar $c_0c_1$ ,

C_{0}^{2} C_{1}^{2} = (a_{0}^{2} + b_{0}^{2}) (a_{1}^{2} + b_{1}^{2}) = a_{0}^{2} C_{1}^{2} + b_{0}^{2} C_{1}^{2} = a_{1}^{2} C_{0}^{2} + b_{1}^{2} C_{0}^{2}

$c_0^2c_1^2 = (a_0^2 + b_0^2)(a_1^2 + b_1^2) = a_0^2c_1^2 + b_0^2c_1^2 = a_1^2c_0^2 + b_1^2c_0^2$ donde los otros dos triples que serán primitivos procederán de la ampliación de la misma.

Para 3, el enfoque básico fue el mismo que para 2 excepto por el hecho de que $c_0 = c_1$ No pude encontrar trillizos primitivos.

saulspatz

Mira el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados. Además, la suma de dos cuadrados por la suma de dos cuadrados es nuevamente la suma de dos cuadrados.

isamu isozaki

Lo siento por la respuesta tardía. ¡Gracias Señor!

poetasis

Si multiplicas cualquier hipotenusa por un número primo distinto de 2, el resultado será impar. Para saber si existe o no

1

$1$ -o-más triples con esa hipotenusa, vea los lados coincidentes de los triples pitagóricos .

Respuestas (3)

¿Cuántas variaciones de las nuevas ternas pitagóricas primitivas hay cuando la hipotenusa se multiplica por un primo?

Mira el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados. Además, la suma de dos cuadrados por la suma de dos cuadrados es nuevamente la suma de dos cuadrados.
Si multiplicas cualquier hipotenusa por un número primo distinto de 2, el resultado será impar. Para saber si existe o no $1$ -o-más triples con esa hipotenusa, vea los lados coincidentes de los triples pitagóricos .

miguel rozenberg · Answer 1

Para la primera declaración.

Si $c=4n+1$ , dónde $n$ es natural y $c$ es un número primo, entonces es cierto.

Además, tenemos

C_{0}^{2} C_{1}^{2} = (a_{0}^{2} + b_{0}^{2}) (a_{1}^{2} + b_{1}^{2}) = a_{0}^{2} a_{1}^{2} + a_{0}^{2} b_{1}^{2} + b_{0}^{2} a_{1}^{2} + b_{0}^{2} b_{1}^{2} =

$c_0^2c_1^2=(a_0^2+b_0^2)(a_1^2+b_1^2)=a_0^2a_1^2+a_0^2b_1^2+b_0^2a_1^2+b_0^2b_1^2=$

= (a_{0} a_{1} + b_{0} b_{1})^{2} + (a_{0} b_{1} - a_{1} b_{0})^{2} = (a_{0} a_{1} - b_{0} b_{1})^{2} + (a_{0} b_{1} + a_{1} b_{0})^{2} .

$=(a_0a_1+b_0b_1)^2+(a_0b_1-a_1b_0)^2=(a_0a_1-b_0b_1)^2+(a_0b_1+a_1b_0)^2.$

emacs me vuelve loco · Answer 2

¿Alguien puede explicarme por qué estas tendencias están aquí?

Dejar $n$ sea un número natural que se factorice como $\def\mod{\operatorname{mod}}$

norte = \prod_{pag principal} {pag}^{{metro}_{pag}}

$n=\!\!\prod_{p\text{ prime}} p^{m_p}$

Si $m_p>0$ para algunos prime con $p\neq1\mod 4$ , entonces no hay una terna pitagórica primitiva $(a,b,n)$ .
Dejar $n$ estar compuesto solo de números primos $p=1\mod 4$ , y $m$ sea el número de tales primos (sin multiplicidad). Entonces hay exactamente $2^{m-1}$ ternas pitagóricas primitivas de la forma
$(a, b, norte) dónde 0 < a < b$ $(a,b,n)\quad\text{ where }\quad 0<a<b$

Por ejemplo, $65=5·13$ da lugar a $2^{2-1}=2$ tales triples, lo mismo para $85=5·17$ . De este modo, $c=5525=5^2·13·17$ da lugar a 4 tripletas primitivas, a saber:

$(1036, 5427, c)$
$(2044, 5133, c)$
$(2163, 5084, c)$
$(3124, 4557, c)$

Para ver / calcular esto, factorice $c$ encima $\Bbb Z[i]$ , los enteros gaussianos . $c$ se descompondrá en $2m$ factores primos (sin contar la multiplicidad) de $m$ pares conjugados. Para obtener todos los triples, tome un primo del primero $^1$ empareje a su poder apropiado $m_p$ , y multiplíquelo con cualquier conjugado de los pares restantes a sus potencias $m_p$ . $\def\cc{\mathrm{c.c}}$

Por ejemplo, hasta unidades tenemos las factorizaciones $17=(4+i)_\cc$ , $5=(2+i)_\cc$ y $13=(2+3i)_\cc$ donde "cc" significa multiplicar con el conjugado complejo correspondiente. Esto da, hasta el orden, las unidades y la conjugación compleja, los 4 productos distintos de la norma 5525

(2 + i)^{2} \cdot (2 \pm 3 i) \cdot (4 \pm i)

$(2+i)^2·(2\pm3i)·(4\pm i)$

$^1$ No importa el orden, solo fije un orden a su preferencia.

poetasis · Answer 3

Demasiado largo para un comentario:

@emacs me vuelve loco Señalaste algo en lo que nunca antes había pensado: que el número de triplicados primitivos para un determinado $C$ es $2^{X-1}$ dónde $x$ es el número de factores primos de $C$ que toman la forma $4x+1, x\in\mathbb{N}$ . Por ejemplo: $\quad 1185665 =5*13*17*29*37$ y tiene $16$ triples primitivos. Nota: $f(m,n)$ se refiere a la fórmula de Euclides donde $\quad A=m^2+n^2\quad B=2mn\quad C=m^2+n^2$ .

$f(796,743)=(81567,1182856,1185665)\\ f(856,673)=(279807,1152176,1185665)\\ f(863,664)=(303873,1146064,1185665)\\ f(904,607)=(448767,1097456,1185665)\\ f(908,601)=(463263,1091416,1185665)\\ f(929,568)=(540417,1055344,1185665)\\ f(961,512)=(661377,984064,1185665)\\ f(992,449)=(782463,890816,1185665)\\ f(1028,359)=(927903,738104,1185665)\\ f(1049,292)=(1015137,612616,1185665)\\ f(1052,281)=(1027743,591224,1185665)\\ f(1063,236)=(1074273,501736,1185665)\\ f(1072,191)=(1112703,409504,1185665)\\ f(1076,167)=(1129887,359384,1185665)\\ f(1084,103)=(1164447,223304,1185665)\\ f(1087,64)=(1177473,139136,1185665)\\$

¿Cuántas variaciones de las nuevas ternas pitagóricas primitivas hay cuando la hipotenusa se multiplica por un primo?

isamu isozaki

Mi (fallido) enfoque

saulspatz

isamu isozaki

poetasis

Respuestas (3)

miguel rozenberg

miguel rozenberg

emacs me vuelve loco

poetasis

La descomposición en potencias primas de la suma de dos cuadrados

¿Diferencia entre la hipotenusa prima en los triángulos pitagóricos siempre divisible por 4?

¿Cómo descender dentro del “Árbol de las ternas pitagóricas primitivas”?

Triple meta-pitagórico

Mi observación sobre la brecha principal

Buscando referencias a subconjuntos triples pitagóricos

Prueba de que el producto de las hipotenusas pitagóricas primitivas es también una hipotenusa pitagórica primitiva

Prueba que involucra triples pitagóricos primitivos

demostración guiada de que hay infinitos números primos en la progresión aritmética 4n+34n+34n + 3

¿Cuántos números únicos se pueden obtener al multiplicar dos números naturales menores que NNN?