Bloque deslizándose por un plano (velocidad perpendicular)

Tengo problemas para entender los conceptos de este problema. Aquí está el problema:

Un bloque se coloca en un plano inclinado en ángulo$\theta$. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es$\mu = \tan \theta$. Al bloque se le da una patada para que inicialmente se mueva con velocidad.$V$horizontalmente a lo largo del plano (es decir, en la dirección perpendicular a la dirección que apunta hacia abajo en el plano). ¿Cuál es la velocidad del bloque después de mucho tiempo?

Podemos ver eso$F_x = mg\sin \theta - mg\cos (\theta )\mu = 0$, si le dimos al bloque una velocidad inicial a lo largo del plano, debería estar sujeto a una fuerza de fricción opuesta a su velocidad, donde$f = mg \cos \theta \tan \theta = mg\sin \theta$

Sin embargo, esta es la respuesta que dio mi libro:

La fuerza normal del plano es$N = mg \cos \mu$. Por lo tanto, la fuerza de fricción sobre el bloque es$N = (\tan \mu)N = mg \sin \mu$. Esta fuerza actúa en la dirección opuesta al movimiento. El bloque también siente la fuerza gravitacional de$mg \sin \theta$apuntando hacia abajo del avión. Debido a que las magnitudes de la fuerza de fricción y la fuerza gravitatoria a lo largo del plano son iguales, la aceleración a lo largo de la dirección del movimiento es igual al negativo de la aceleración en la dirección hacia abajo del plano. Por lo tanto, en un pequeño incremento de tiempo, la velocidad que pierde el bloque a lo largo de su dirección de movimiento es exactamente igual a la velocidad que gana en la dirección hacia abajo del plano . Sea v la velocidad del bloque y sea vy la componente de la velocidad en la dirección hacia abajo del plano, por lo tanto tenemos

$$v + vy = C$$ dónde $C$es una constante $C$viene dado por su valor inicial, que es $V + 0 = V$. El valor final de $C$es $V_f + V_f = 2V_f$(dónde $V_f$es la velocidad final del bloque), porque el bloque esencialmente se mueve en línea recta hacia abajo en el plano después de un tiempo muy largo. Por lo tanto, $2V_f = V \rightarrow V_f = \frac{V}{2}$

Realmente no entiendo lo que esto está tratando de decir. La parte en negrita es lo que me está dando problemas. Creo que puede estar mal escrito, creo que necesito una explicación más clara.