Bajo la atracción gravitacional de la Tierra, ¿qué tan denso debería ser un objeto para alcanzar su radio de Schwarzschild?

La gravedad de la Tierra es bastante débil. Se las arregla para comprimir aire (afortunadamente para nosotros), pero eso es todo. Dado que la Tierra no es un agujero negro, nunca puede comprimir otra cosa para que sea un agujero negro.

Dicho esto, consideremos algún objeto y supongamos que algo lo comprime en un agujero negro.

El radio de Schwarzschild se define como

$$R_s = \frac{2GM}{c^2}.$$ Ahora digamos que el objeto es una esfera de radio. $R_s$, entonces su densidad uniforme es $$\rho = \frac{M}{ \frac{4\pi}{3} R_s^3 }.$$ Usar esto para deshacerse del término de masa nos deja con $$R_s = \frac{2G \rho \frac{4\pi}{3} R_s^3}{c^2}$$ La inversión de esta expresión da la densidad del agujero negro para un radio dado $$\rho = \frac{3 c^2}{8 \pi G R_s^2}.$$

Tenga en cuenta que si quiere un agujero negro realmente pequeño, digamos$R=1$m, la densidad tiene que ser de aproximadamente$1.6\times10^{26}$kg/m2$^3$. Eso es unas 20 veces la masa de la Tierra metida en un metro cúbico, bastante.

Pero si el agujero negro puede ser tan grande como queramos, entonces la densidad puede volverse extremadamente baja. Un gran ejemplo de esto son los agujeros negros supermasivos , que tienen aproximadamente la misma densidad que el agua (eso es$10^3$kg/m2$^3$).