Bajo: fórmula de distancia de traste

En una escala de temperamento igual de 12 tonos, queremos que nuestra frecuencia se duplique (se vuelva una octava más alta) cada 12 semitonos, y queremos que nuestros semitonos estén espaciados uniformemente.

Como cada traste representa un semitono, y la frecuencia fundamental de oscilación de una cuerda ideal es proporcional al recíproco de su longitud, esto significa que cada traste debe ser un factor de la raíz 12 de 2 ≈ 1,06 (más o menos) veces más lejos de el puente que el anterior.

Entonces, por ejemplo, cuando pasas del traste 12 a la derecha a la cejilla, has multiplicado ese espacio por 1,06 aproximadamente 12 veces, por lo que el espacio entre trastes entre la cejilla y el primer traste es la mitad de lo que es en el traste 12. Wikipedia incluso tiene un artículo divertidamente titulado específicamente, Duodécima raíz de dos , que muestra cómo la multiplicación repetida por el número produce la escala cromática de temperamento igual.

La forma en que se calcula el '17.817' mencionado en la respuesta de Laurence es la siguiente:

_{(de guitarbuilding.org - 'Cálculo de espacio entre trastes')}

La razón de las sumas más complejas aquí es que este número se usa cuando se habla de calcular las proporciones de la nuez . Si imaginamos que la longitud total de la cuerda es 1, entonces 1/17,817 es 0,05612, por lo que la longitud de la cuerda cuando se toca en el primer traste es (1-0,05612) = 0,94388. Y cuando calculamos 1/0,94388 (es decir, la proporción de la longitud total de la cuerda en comparación con su longitud cuando se tocó en el primer traste), nos devuelve a esa proporción de 1,06 (raíz 12 de 2). ¡Uf!

A veces, se puede usar un espaciado de trastes ligeramente diferente para compensar las características no ideales de las cuerdas (y, como dice Laurence, el ligero aumento de tensión que resulta en el desplazamiento de la cuerda al tocarla).

Como matemático, estoy seguro de que ya conoce la respuesta teórica básica. Citando del primer enlace que figura a continuación:

"Si divides la longitud de la escala (la distancia desde la cejuela hasta el puente) por 17,817, terminas con la posición del primer traste comenzando desde el extremo de la cejilla del diapasón. Si luego tomas la longitud de la escala menos la distancia del primer traste y divide el resto por 17,817, terminas con la posición del segundo traste ubicada desde el primer traste. A continuación, si tomas la longitud de la escala menos las distancias del primer y segundo traste y divides el resto entre 17,817, terminas con la posición del tercer traste ubicada desde el segundo traste. Este proceso se repite hasta que se localizan todos los trastes requeridos".

Pero hay que empujar la cuerda hacia abajo hasta el traste, y esto aumenta la tensión. Lea todo el documento:

http://www.luth.org/images/web_extras/al116/MagliariFretComp.pdf

(Actualización: ese enlace ahora está muerto. Sin embargo, hay muchas otras cosas interesantes en luth.org .

Y aquí hay una discusión menos matemática del tema:

http://www.liutaiomottola.com/formulae/fret.htm