Autómatas celulares: ¿Existe un grupo inicial de células en una red cuadrada que nunca se pone a cero por completo?

Fijar un entero positivo$k$.

Dada una cuadrícula infinita de cuadrados, a cada uno de ellos se le asigna un valor entero no negativo. Además, solo un número finito de estos valores son distintos de cero. Llame a este estado Generación$0$. en generación$n+1$, a una celda se le da el valor:

• $0$si la suma de sus cuatro vecinos en Generación$n$no era divisible por$k$;
• $\frac{1}{k}*\text{(The sum of its four neighbors in Generation n)}$de lo contrario.

La pregunta es esta: ¿Existe una configuración inicial tal que la cuadrícula no se convierta finalmente en ceros?

Para$k\ge 4$, la respuesta es fácilmente no; uno puede probar esto usando la suma de todos los números de la cuadrícula como monovariante. Para$k\le 2$, la respuesta es fácilmente sí; para$k=2$Considere dos diagonalmente adyacentes "$1$"s. Pero ¿qué pasa con$k=3$??

Se puede plantear una pregunta similar para una cuadrícula hexagonal (considerando seis en lugar de cuatro vecinos). Aquí, es sí para$k\ge 6$y no para$k\le 3$. Pero que pasa$k=4, 5$??

Nota al margen: estas preguntas surgieron cuando estaba jugando con números en papel cuadriculado el otro día, y no tengo idea si están resueltas o abiertas, conocidas o nuevas. Heurísticamente, parece que cada configuración cuadrada debería desaparecer para$k=3$, ya que la suma de todas las entradas, en promedio, se multiplicará por$\frac{4}{9}$después de cada generación. Pero también podría existir alguna configuración inicial extraordinaria que resulte en una expansión infinita.

Ejemplo: La siguiente imagen muestra una muestra cuando$k=3$en una cuadrícula cuadrada (solo se muestran las entradas distintas de cero). La red se extinguiría después de la Generación 2.

Editar: corrigió un error tipográfico; ahora las cosas deberían estar claras.