¿Por qué la misma fórmula describe el efecto Doppler en el caso de la luz en diferentes situaciones?

Tus pensamientos son básicamente correctos; el punto esencial es que las ondas de sonido viajan a través de un medio a cierta velocidad,$c_s$, y como resultado, existe una asimetría entre los efectos debido a la velocidad$v_o$del observador en relación con el medio y la velocidad$v_s$de la fuente relativa al medio, pero tal asimetría no existe en el efecto Doppler de la luz.

Para entender esto, recuerde que cuantitativamente, el efecto Doppler para el sonido se expresa mediante la siguiente fórmula que relaciona la frecuencia observada$f_o$a la frecuencia$f_s$que se observa entonces se está en reposo con respecto a la fuente;

$$\begin{align} f_o = \frac{c_s+v_o}{c_s+v_s} f_s \end{align}$$ La convención de signos aquí es que $v_o$es positivo si el observador se está acercando a la fuente, y negativo si se está alejando, y $v_s$es positivo si la fuente se aleja del observador y negativo si se acerca al receptor. Para comprender la asimetría entre la velocidad del observador y la fuente, suponga que $v_s = 0$, a saber, la fuente permanece inmóvil en el medio, entonces la relación se vuelve $$\begin{align} f_o = \frac{c_s+v_o}{c_s} f_s \end{align}$$ Ahora, observe que el observador puede hacer $v_o$tan alto como uno quiera (al menos si ignoramos la restricción de la velocidad de la luz) moviéndose a través del medio hacia la fuente tan rápido como uno quiera. Esto permite observar frecuencias arbitrariamente altas moviéndose cada vez más rápido a través del medio hacia la fuente. Por otro lado, si la velocidad del observador es cero, entonces tenemos $$\begin{align} f_o = \frac{c_s}{c_s+v_s} f_s \end{align}$$ y esta vez, alcanzar frecuencias observadas arbitrariamente altas implica moverse a través del medio con negativo $v_s$que tiene una magnitud cercana a $c_s$. En otras palabras, tendría que hacer arreglos para que la fuente se moviera hacia el observador a una velocidad justo por debajo pero muy cercana a la velocidad del sonido en el medio. ¡Esto es completamente diferente de lo que uno necesitaba hacer cuando era el observador moviéndose hacia una fuente estacionaria!

Para la luz que se mueve en el vacío en relatividad, uno no encuentra esta asimetría porque la luz no necesita moverse a través de un medio, y lo único que importa en el efecto Doppler de la luz es la velocidad relativa entre el observador y la fuente . En particular, no hay forma de distinguir entre el observador que se mueve hacia la fuente a cierta velocidad o la fuente que se mueve hacia el observador a la misma velocidad.

En un rumbo ligeramente diferente, volvamos a la derivación básica del desplazamiento Doppler. Supongamos que la fuente se mueve hacia el observador. Entonces la longitud de onda se acorta en$V_\textrm{source} \cdot \Delta T$dónde$\Delta T$es el recíproco de la frecuencia del sonido. Por lo que derivamos el coeficiente de desplazamiento:

$$\frac{V_\textrm{sound}}{V_\textrm{sound}-V_\textrm{source}}$$

Pero lo que estoy luchando por entender es que si el observador se mueve hacia la fuente, ¿por qué no podemos determinar que la longitud de onda se acorta de manera similar por$V_\textrm{listener} \cdot \Delta T$y por lo tanto derivar el coeficiente de cambio como

$$\frac{V_\textrm{sound}}{V_\textrm{sound}-V_\textrm{listener}}$$

En cuyo caso, la fórmula de hecho depende solo del movimiento relativo entre la fuente y el oyente y no si se mueve la fuente o el observador.