Soy estudiante de física y estoy pensando en explorar la teoría de la información cuántica. Eché un vistazo a algunos libros en la biblioteca de mi universidad. ¿Qué área en QIT es matemáticamente más desafiante y rigurosa? Por lo que vi en los libros, la mayoría de los temas eran solo álgebra lineal simple. Estoy buscando un área que sea matemáticamente más rica y que use quizás más conceptos de informática teórica, teoría de números, matemáticas discretas, álgebra, etc. La criptografía clásica es un área en la interfaz de matemáticas y TCS que usa muchas áreas de matemáticas como como teoría de números, álgebra, curvas elípticas. ¿La criptografía cuántica también es rica en matemáticas? ¿Cuáles son los requisitos previos? Si no, ¿podría sugerir algunas áreas en las que soy matemáticamente rico en QIT?
Creo que el punto de vista geométrico es superior al algebraico en la teoría cuántica. Muchos de los logros en la comprensión de la teoría cuántica surgieron desde el punto de vista geométrico, por ejemplo, la clasificación de partículas relativistas de Wigner (como representaciones irreducibles del grupo de Poincaré). Además, muchos de los logros de Witten se derivaron de su profundo conocimiento geométrico. De hecho, en sus obras fundamentales aplicó la cuantización geométrica más allá de los límites conocidos por los matemáticos de la época.
Por supuesto, las áreas matemáticas relevantes para esta dirección de investigación incluyen: análisis de variedades, grupos de Lie, haces de fibras, geometría simpléctica, cuantización geométrica, etc.
En el caso especial de QIT, es cierto que la corriente principal sigue el punto de vista algebraico, pero déjame referirte a trabajos que adoptan el punto de vista geométrico. La referencia básica es el libro de Bengtsson y Zyczkowski: Geometría de los estados cuánticos: una introducción al entrelazamiento cuántico . Permítanme también referirles a importantes trabajos más recientes en esta dirección:
Geometría de estados entrelazados por Marek Kus y Karol Zyczkowski.
Geometría simpléctica del entrelazamiento por: Adam Sawicki, Alan Huckleberry, Marek Kus y
Mapas de Segre y entrelazamiento para sistemas multipartitos de partículas indistinguibles por: Janusz Grabowski, Marek Kus, Giuseppe Marmo
Estos artículos incluyen muchas otras referencias sobre el tema, además, muchos de los autores tienen trabajos adicionales.
Yo argumentaría que, de la miríada de opciones, un área clave de las matemáticas que se volverá cada vez más crítica para los físicos generales en el futuro (y ya es clave en cierta física de vanguardia) es la teoría de categorías . Culturalmente, esto se llama tontería abstracta , lo que ya debería indicar su importancia para la comunidad matemática (habría que ver los ojos de un matemático brillar cuando habla de eso para entender). Se puede encontrar un buen documento que presenta el caso aquí . También es fundamental para comprender los avances en QIT y otros campos.
La otra área es la teoría de la complejidad computacional , donde lo remitiría al zoológico de complejidad para obtener una buena introducción. La física y la teoría computacional están comenzando a cruzarse de una manera muy real, y la comprensión de la complejidad computacional permitirá un puente hacia la informática, que probablemente será el campo dominante en la ciencia general en los próximos años (si no ya).
Nota: solo un comentario rápido, aunque el documento vinculado implicaba una conexión con la gravedad cuántica de bucles en el contexto de la gravedad cuántica, la teoría de categorías también se vincula con la teoría de cuerdas de una manera más física. Lo remitiría al sitio web de nLab para obtener más información sobre la teoría de categorías y la física. Ver también
Nikolaj-K
mitchell portero
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SMeznaric
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