Computación cuántica adiabática: ¿por qué no configurar el sistema en su problema hamiltoniano HPHPH_{P} inmediatamente?

Antecedentes: en cualquier algoritmo de computadora cuántica adiabática (AQC), resolvemos problemas de la siguiente manera: tenemos un hamiltoniano inicial, H 0 , cuyo estado fundamental es fácil de encontrar, y un problema hamiltoniano H PAG , cuyo estado fundamental codifica la solución a nuestro problema. Si luego evolucionamos nuestro AQC por un tiempo T de modo que su energía está descrita por el hamiltoniano

H ( t ) = ( 1 − t / T ) H 0 + ( t / T ) H PAG
luego, siempre que se apliquen un par de condiciones, el sistema estará en el estado fundamental de H PAG en el momento T (y listo, tendríamos una solución a nuestro problema)

Pregunta: Si simplemente configuramos el AQC para que su energía se describa inicialmente por el hamiltoniano H PAG , ¿por qué el sistema simplemente no 'caería' en su estado fundamental (codificando una solución a nuestro problema inmediatamente)? ¿Por qué necesitamos evolucionar el AQC desde el hamiltoniano inicial? H 0 en H PAG ?

Respuestas (3)

La mayoría de los problemas NP-completos se pueden formular como encontrar el estado fundamental de algún hamiltoniano. Si crea un sistema físico que tiene tal hamiltoniano, será un "sistema frustrado". Se asentará en un estado que es un mínimo local de la energía, y mientras que la mecánica cuántica dice que eventualmente decaerá al estado fundamental (asumiendo que no está aislado; es decir, hay algún mecanismo para que pierda energía), el tiempo que lleva esto puede ser fácilmente muchos órdenes de magnitud mayor que el tiempo de vida del universo.

Si desea calcular el estado fundamental de un problema hamiltoniano arbitrario, debe buscar entre 1/2 ^ N estados. Para N=100 eso es prácticamente imposible incluso con una paralelización masiva, e incluso eso todavía está en órdenes de magnitud por debajo de los tamaños de problemas que tienen aplicación industrial. Por supuesto, los mejores algoritmos clásicos usan la heurística y la estructura del problema para aumentar la manejabilidad, pero la esperanza es que AQC proporcione al menos una aceleración polinomial en algunos algoritmos, y haga desaparecer los mejores algoritmos clásicos en las supercomputadoras más grandes ( aún por demostrar).

Una vez hice exactamente la misma pregunta durante un curso sobre computación cuántica. Los sistemas solo "caen" en sus estados fundamentales cuando están en equilibrio térmico a temperatura cero . Ambas piezas son problemáticas: (a) muchos sistemas que se han propuesto para la computación cuántica tienen escalas de energía lo suficientemente bajas como para que bajarlas a temperaturas lo suficientemente bajas sea extremadamente desafiante, y (b) como señaló Peter Shor, no tienes idea cuánto tiempo tardará el sistema en alcanzar el equilibrio térmico; podría tener un equivalente físico de un problema del signo de Monte-Carlo, donde las perturbaciones locales tardan exponencialmente en tamaño del sistema para llegar al equilibrio térmico.

Pero si puedes controlar el hamiltoniano inicial H 0 , puede "forzar" el sistema a su estado fundamental mucho más rápidamente, en principio mediante la filtración de medición, pero de manera más realista al hacer H 0 sin frustraciones y con una escala de energía característica muy grande. Por ejemplo, si tiene un sistema de espines cuánticos y aplica un campo uniforme enorme a todo el sistema ("enorme" significa mucho más grande que la temperatura y la escala de interacción de espín relevante), entonces todo el sistema se alineará con el campo muy rápidamente y puede estar seguro de que está en el estado fundamental.

En realidad, es bastante fácil (al menos en teoría) construir sistemas para que (a) no sea un problema. El gran problema es (b).
@PeterShor Cierto, pero creo que también hay sistemas en los que (a) es difícil. D-Wave funciona ("funciona") a 15 mK, lo que no es demasiado difícil de lograr, pero ¿no hay también propuestas para AQC en sistemas de átomos fríos (por ejemplo, arxiv.org/abs/quant-ph/0406144 )? Eso tendría que realizarse en la escala de nanokelvin, que es mucho, mucho más difícil que milikelvin.
@tparker Gracias, gran respuesta. ¿Es este campo uniforme (que se aplica al sistema para acelerar que alcance el estado fundamental) lo que se usa en los algoritmos de recocido cuántico (como en las máquinas D-Wave)? ¿Y es esto lo que permite el 'túnel' entre las barreras que separan los mínimos locales en los algoritmos de recocido cuántico?
@AlexMichael No sé la respuesta a tu primera pregunta. No estoy seguro de entender su segunda pregunta, pero el teorema adiabático garantiza que el estado fundamental del hamiltoniano inicial evolucionará al estado fundamental del hamiltoniano final siempre que el hamiltoniano varíe mucho más lentamente que la escala de tiempo establecida por la brecha de energía al primer estado excitado, porque el sistema puede hacer un túnel cuántico a través de las barreras de energía siempre que tenga suficiente tiempo para hacerlo. En principio, los detalles del hamiltoniano inicial no son importantes, solo el tamaño de su brecha de energía.
¿Por qué puedo forzar que el hamiltoniano inicial H0 esté en el estado fundamental pero no forzar al hamiltoniano final para que esté en el estado fundamental?
@hii: el hamiltoniano inicial es uno elegido específicamente para que pueda forzarlo a estar en el estado fundamental.
@hii Sí, como dije anteriormente, los ingredientes clave que hacen H 0 mucho más fáciles de manejar son (a) un estado fundamental no frustrado y (b) una brecha muy grande al primer estado excitado. Dichos hamiltonianos son bastante fáciles de diseñar y caen en sus estados fundamentales mucho más rápido que el hamiltoniano del "problema" final. H PAG (que normalmente es frustrante y complicado de diseñar) lo hace.

Comienzas en algún estado que es un lío complicado de estados propios entonces. Y no le has dado un mecanismo para decaer. Solo evolución con un solo Hp. Solo sabe cómo comenzar en el estado fundamental de H0 y moverse desde allí.

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