Aplicar una rotación en un estado enredado

Question

Aplicar una rotación en un estado enredado

Física
óptica-cuántica
computadora cuántica
mecánica cuántica
información cuántica
entrelazamiento cuántico

doncarlos31415

Quiero entender un experimento, pero tengo problemas con la notación matemática/braket (básica).

En el experimento se enredan dos iones y se separan en dos pocillos $A$ y $B$ . Así, el estado de espín de los iones es

\frac{1}{\sqrt{2}} [| ↑ ⟩_{A} | ↓ ⟩_{B} + | ↓ ⟩_{A} | ↑ ⟩_{B}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left[|\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B + |\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B \right]$ Como quieren operar una transición de banda lateral a continuación, incluyen el estado de movimiento de los iones como

\frac{1}{\sqrt{2}} [| ↑ ⟩_{A} | ↓ ⟩_{B} + | ↓ ⟩_{A} | ↑ ⟩_{B}] | 0 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B}

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left[|\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B +|\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B \right] |0\rangle_A |0\rangle_B$ La transición de banda lateral solo se aplica en el ion en pozo

A

$A$ y lo describen como una rotación

R (θ, ϕ) = (\begin{array}{r} porque (θ / 2) & - i {mi}^{- i ϕ} pecado (θ / 2) \\ - i {mi}^{i ϕ} pecado (θ / 2) & porque (θ / 2) \end{array})

$R(\theta,\phi)=\left(\begin{array}{r} \text {cos}(\theta/2) & -ie^{-i\phi}\text{sin}(\theta/2)\\ -ie^{i\phi}\text{sin}(\theta/2) & \text{cos}(\theta/2)\\ \end{array}\right)$ en la base

(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array}) = | ↑ ⟩ | 1 ⟩

$\left(\begin{array}{r} 1\\0 \end{array}\right)=|\uparrow\rangle|1\rangle$ ,

(\begin{array}{r} 0 \\ 1 \end{array}) = | ↓ ⟩ | 0 ⟩

$\left(\begin{array}{r} 0\\1 \end{array}\right)=|\downarrow\rangle|0\rangle$ .

Después de aplicar la transición de banda lateral $R_A(\pi,0)$ obtienen el estado:

| F ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | ↑ ⟩_{A} [| ↓ ⟩_{B} | 0 ⟩_{A} - i | ↑ ⟩_{B} | 1 ⟩_{A}] | 0 ⟩_{B}

$|f\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle_A \left[|\downarrow\rangle_B|0\rangle_A - i|\uparrow\rangle_B |1\rangle_A \right]|0\rangle_B$

Soy nuevo en la notación de brackets y cuando trato de hacer el mismo cálculo termino con un estado final diferente. ¿Alguien puede escribir cómo aplicar? $R_A(\pi,0)$ da como resultado el estado final $|f\rangle$ ? ¡Muchas gracias!

Respuestas (1)

Aplicar una rotación en un estado enredado

vin92 · Answer 1

Creo que la pregunta será mucho más clara si especifica algunos de los vectores base restantes, por ejemplo, el $\vert{\uparrow 0}\rangle$ . Recomiendo escribir el estado de la siguiente manera.

| i ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| ↑ 0 ⟩_{A} | ↓ 0 ⟩_{B} + | ↓ 0 ⟩_{A} | ↑ 0 ⟩_{B})

$\vert{i}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vert{\uparrow 0}\rangle_A\vert{\downarrow 0}\rangle_B+\vert{\downarrow 0}\rangle_A\vert{\uparrow 0}\rangle_B)$

Tenga en cuenta que vive en un espacio de Hilbert que es el producto directo de dos (o más) espacios de Hilbert, es decir

H = H_{A} \otimes H_{B}

$\mathcal{H}=\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$

Entonces debes entender el operador de rotación como

R (θ, ϕ) \equiv R_{A} (θ, ϕ) \otimes 1_{B}

$R(\theta,\phi)\equiv R_A(\theta,\phi)\otimes \mathbb{1}_B$ dónde

1_{B}

$\mathbb{1}_B$ es el operador de identidad, por lo que

R (θ, ϕ)

$R(\theta,\phi)$ solo actúa sobre

H_{A}

$\mathcal{H}_A$ .

Por eso :

R (θ, ϕ) | i ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (R_{A} (θ, ϕ) | ↑ 0 ⟩_{A} | ↓ 0 ⟩_{B} + R_{A} (θ, ϕ) | ↓ 0 ⟩_{A} | ↑ 0 ⟩_{B}) = | F ⟩

$R(\theta,\phi)\vert{i}\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(R_A(\theta,\phi)\vert{\uparrow 0}\rangle_A\vert{\downarrow 0}\rangle_B+R_A(\theta,\phi)\vert{\downarrow 0}\rangle_A\vert{\uparrow 0}\rangle_B)=\vert{f}\rangle$

Luego, por cálculo directo, debe verificar que

R_{A} (π, 0) | ↑ 0 ⟩_{A} = | ↑ 0 ⟩_{A}

$R_A(\pi,0)\vert{\uparrow 0}\rangle_A=\vert{\uparrow 0}\rangle_A$

R_{A} (π, 0) | ↓ 0 ⟩_{A} = - i | ↑ 1 ⟩_{A}

$R_A(\pi,0)\vert{\downarrow 0}\rangle_A=-i\vert{\uparrow 1}\rangle_A$

Para la segunda línea, verifiqué y se mantiene, pero debe verificar la primera línea.

EDITAR: después de leer el comentario y analizar más a fondo el problema, me di cuenta de que hay un poco más aquí.

1) Tenga en cuenta que $\mathcal{H}_{A}=\mathcal{H}_{s=1/2}\otimes \mathcal{H}_{\text{Fock Space}}$ y lo mismo para $\mathcal{H}_B$ . Las representaciones matriciales de estos operadores son matrices de infinitas dimensiones en la base $\big\lbrace \vert \uparrow \rangle,\vert \downarrow \rangle \big \rbrace \otimes \big\lbrace \vert 0 \rangle,\vert 1 \rangle,\ldots \big \rbrace$ .

2) El operador $R_A(\pi,0)$ rota los vecotrs base.

R_{A} (π, 0) | ↓ 0 ⟩_{A} = - i | ↑ 1 ⟩_{A}

$R_A(\pi,0)\vert{\downarrow 0}\rangle_A=-i\vert{\uparrow 1}\rangle_A$

R_{A} (π, 0) | ↑ 1 ⟩_{A} = - i | ↓ 0 ⟩_{A}

$R_A(\pi,0)\vert{\uparrow 1}\rangle_A=-i\vert{\downarrow 0}\rangle_A$

Pero tenga en cuenta que no toca el vector base. $\vert \uparrow 0 \rangle$ ! Para verlo, considere el subespacio (de dimensión finita) de $\mathcal{H}_A$ atravesada por los vectores base:

{| ↑ ⟩, | ↓ ⟩} \otimes {| 0 ⟩, | 1 ⟩} = {| ↑ 0 ⟩, | ↑ 1 ⟩, | ↓ 0 ⟩, | ↓ 1 ⟩} .

$\big\lbrace \vert \uparrow \rangle,\vert \downarrow \rangle \big \rbrace \otimes \big\lbrace \vert 0 \rangle,\vert 1 \rangle \big \rbrace=\big\lbrace \vert \uparrow 0 \rangle,\vert \uparrow 1 \rangle, \vert \downarrow 0 \rangle,\vert \downarrow 1 \rangle \big \rbrace.$ La representación matricial de

R_{A} (π, 0)

$R_A(\pi,0)$ en este subespacio es:

R_{A} (π, 0) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - i & 0 \\ 0 & - i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

$\begin{equation} R_A(\pi,0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -i & 0\\ 0 & -i & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} . \end{equation}$ Y los vectores base se pueden tomar como

| ↑ 0 ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | ↑ 1 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), | ↓ 0 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), | ↓ 1 ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) .

$\vert \uparrow 0\rangle=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \vert \uparrow 1\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \vert \downarrow 0\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \vert \downarrow 1\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}.$

Para que todas las propiedades se mantengan. ¡Espero que también aclare la pregunta en el comentario! C:

¡Muchas gracias! Esto ya hace que el procedimiento general sea mucho más claro. Traté de encontrar una expresión vectorial para $|\uparrow 0 \rangle_A$ resolviendo $R_A(\pi,0)|\uparrow 0 \rangle_A=|\uparrow 0 \rangle_A$ . Sin embargo, la única solución es la solución trivial. De hecho, estoy confundido por qué los autores solo especificaron $(10)=|↑⟩|1⟩$ , $(01)=|↓⟩|0⟩$ aunque estamos tratando con estados tensoriales y, por lo tanto, una base completa sería $(10) \otimes(10)$ , $(10) \otimes(01)$ , $(01) \otimes(10)$ , $(01) \otimes(01)$ . Pero entonces, ¿cómo es la rotación? $R_A(\pi,0)$ definido sobre esos vectores base?
¡Edité mi respuesta porque no pude responder tu pregunta en los comentarios! ¡Salud! ¡¡Espero eso ayude!!

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doncarlos31415

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doncarlos31415

vin92

doncarlos31415

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