Es básicamente una medida de la cuantía de algunas correlaciones, que no se desvanece para algún estado separable. Fue presentado por Ollivier y Zurek ( PRL / arXiv ). Es la diferencia entre dos generalizaciones diferentes de la entropía condicional clásica (Shannon) al mundo cuántico, y es 0 para un estado separable bipartito puro. Se ha demostrado que es la cantidad de entrelazamiento necesaria en la tarea de fusión de estados ( PRA / arXiv y PRA / arXiv ).

Definición

( PRL / arXiv ) Clásicamente la entropía condicional$H(A|B)$es una medida de la incertidumbre que se tiene sobre la variable$A$una vez que conocemos la variable$B$. Por supuesto, la definición de "saber"$B$se vuelve problemático cuando$B$es cuántico.

1. Clásicamente, se puede definir$H(A|B)$como el promedio$H(A|B)=\sum_b {\mathcal P}(B=b)H(A|B=b)$, cada$H(A|B=b)$siendo la entropía de$A$dado que la variable aleatoria tiene el valor$b$. Si uno generaliza esto al mundo cuántico, el$B=b$parte implica una medida cuántica (un POVM) que debe especificarse. Una elección natural es la "mejor" medida, la que minimiza la entropía. el shannon$H$la entropía se reemplaza por la entropía de Von Neumann, y definimos$S(A|B_c)=\min_{\text{POVM}} \sum_{b}\mathcal{P}(\text{POVM applied to B gives } b) S(A|\text{POVM applied to B gives }b)$.

2. La definición anterior conduce clásicamente a una redefinición de la entropía condicional como una diferencia de entropía:$H(A|B)=H(A,B)-H(B)$, que siempre es positivo. Su versión cuántica,$S(A|B)=S(AB)-S(B)$puede ser negativo (en contraste con$S(A|B_c)$). Su negatividad es una condición suficiente para el enredo.

La discordia se define como$S(A|B_v)-S(A|B)$y siempre es positivo. Tal vez puedas verlo como la cantidad de correlación entre$A$y$B$que es destruido por una medida clásica de$B$.

Enlace con fusión de estado

( PRA / arXiv y PRA / arXiv )

La primitiva de fusión de estados es la siguiente. Supongamos que Alice, Bob y Charly comparten un estado entrelazado puro de 3 partes. Alice quiere enviar su parte a Bob sin destruir las correlaciones cuánticas entre$AB$y$C$. Básicamente, ella tiene que teletransportarse.$A$a Bob, y la cantidad mínima de enredos que Alice y Bob necesitan para realizar esta tarea viene dada por la discordia cuántica.

Una forma de decirlo es que la discordia cuántica cuantifica las "correlaciones" que no se pueden convertir directamente en correlaciones entre los resultados de las mediciones. La presencia de discordia en un estado cuántico bipartito dado indica que las dos partes están más "vinculadas entre sí" de lo que podría observarse a través de las correlaciones en los resultados de cualquier elección de mediciones locales. Otro punto de vista es que la discordia cuántica está relacionada con situaciones en las que medir una parte del sistema necesariamente perturba la otra parte.

Dado un estado bipartito, uno puede preguntarse acerca de la cantidad máxima de correlaciones observables en los resultados de las mediciones locales. Llamémosle a esto la información accesible , que por lo tanto puede definirse como

$$J(\rho) \equiv \max_{\Pi^A} J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i), \qquad J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i)\equiv S(\operatorname{Tr}_A(\rho)) - S(\rho; B|\{\Pi^A_i\}_i),\\ S(\rho; B|\{\Pi^A_i\}_i) \equiv \sum_i p_i S(\rho(B|A=i)).$$ Esto parece desagradable, así que analicemos:

1. $J(\rho)$es la información accesible, calculada wrt medidas de$A$. También se podría considerar la definición análoga cuando$B$se mide en su lugar, y potencialmente obtener números diferentes. Esto significa que se debe tener cuidado con la dirección en la que se define la discordia/información accesible.
2. Con$J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i)$Me refiero a la información accesible con respecto a una elección de medida en$A$. Aquí,$\{\Pi_i^A\}_i$es una medida proyectiva de$A$. La información accesible se obtiene encontrando la opción de medida$\{\Pi^A_i\}_i$que maximiza$J(\rho|\{\Pi_i^A\}_i)$.
3. Una vez que fijamos una opción de medición$\{\Pi^A_i\}$, utilizamos una definición de información mutua procedente de la fórmula clásica$I(X:Y)=H(A)-H(A|B)$. La entropía clásica condicional$H(A|B)$se convierte en la entropía condicional$S(\rho;B|\{\Pi_i^A\})$, que es igual a la entropía media ( von Neumann ) sobre$B$, condicionado a cada resultado de medición de$\rho$en$A$.
4. Más explícitamente, la entropía condicional dice $$S(\rho; B|\{\Pi^A_i\}_i) \equiv \sum_i p_i S(\rho(B|A=i)),$$ dónde $$p_i \equiv \operatorname{Tr}[(\Pi^A_i\otimes I_B)\rho], \qquad \rho(B|A=i) \equiv\frac{1}{p_i} \operatorname{Tr}_A[(\Pi^A_i\otimes I_B)\rho].$$ En palabras,$p_i$es la probabilidad de$A$obteniendo el resultado$i$(nuevamente, cuando se usa la medida$\{\Pi_i^A\}$, mientras$\rho(B|A=i)$es el estado residual en$B$obtenido cuando$A$obtiene el resultado$i$(y dice$B$al respecto).

La discordia cuántica $\delta$es la parte de la información mutua cuántica $I(\rho)\equiv S(\rho_A)+S(\rho_B)-S(\rho)$, que no se realiza como información mutua accesible , es decir

$$I(\rho) = J(\rho) + \delta(\rho).$$ Una vez más, se debe tener cuidado con el sistema que se está midiendo, por lo que se debe dar una definición más precisa especificando esta información.

Una linda caracterización

Un estado bipartito$\rho$tiene cero discordia con respecto a las medidas en$A$ si y sólo si es un estado cuántico clásico , es decir , admite una descomposición de la forma

$$\rho = \sum_i p_i \, |i\rangle\!\langle i|\otimes \rho_i,$$ para alguna base ortonormal$\{|i\rangle\}$y conjunto de estados$\rho_i$.

Algunos ejemplos

Para un estado puro arbitrario$\rho$, uno tiene$I(\rho)=2J(\rho)$. En particular, la discordia es simétrica y equivale a la información accesible. Por ejemplo, un estado de dos qubits entrelazados al máximo tiene$I(\rho)=2$y$J(\rho)=\delta(\rho)=1$.

Considere el estado de dos qubits

$$\rho = \frac12 ( \mathbb{P}_0\otimes \mathbb{P}_0 + \mathbb{P}_1\otimes \mathbb{P}_+), \qquad \mathbb{P}_v\equiv |v\rangle\!\langle v|.$$ Se trata de medidas wrt cuánticas clásicas en$A$, por lo tanto, tiene cero discordia de izquierda a derecha. Pero también tiene medidas de discordia distintas de cero en$B$. Tenga en cuenta cómo este también es un estado separable , mostrando cómo la discordia es una forma de no clasicismo que es diferente al enredo.

Para un ejemplo de un estado discordante separable de dos qubits que no es cuántico clásico, uno puede considerar el ejemplo estándar dado en el artículo original de Ollivier y Zurek: un estado de Werner de la forma

$$\rho_z = \frac{1-z}{4}I +z |\Phi^+\rangle\!\langle\Phi^+| =\frac14\begin{pmatrix}1+z & 0&0& 2z \\ 0& 1-z & 0 & 0 \\ 0&0&1-z&0 \\ 2z & 0 & 0 & 1+z\end{pmatrix}, \\ |\Phi^+\rangle\equiv\frac{1}{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle),$$ que es separable para$z\le 1/3$pero tiene discordia distinta de cero en ambas direcciones.