Aplicación del teorema de Noether para una partícula puntual relativista

Question

Aplicación del teorema de Noether para una partícula puntual relativista

chaveroche

Consideremos una acción relativista de partículas puntuales

S = - metro C \int \sqrt{- \frac{d z^{m}}{d σ} \frac{d z_{m}}{d σ}} d σ

$\begin{equation} S= -mc\int \sqrt{-\frac{dz^\mu}{d\sigma}\frac{dz_\mu}{d\sigma}} d\sigma \end{equation}$ para algún parámetro de curva arbitraria

σ

$\sigma$ y usamos la métrica mayormente positiva. Mi objetivo es encontrar la energía total a través del teorema de Noether considerando

δ z^{μ}

$\delta z^\mu$ traducciones restringidas a la variación de simetría:

δ z^{0} = c ϵ, δ z^{i} = 0

$\delta z^0 = c\epsilon~,\delta z^i=0$ . El cálculo consta de tres partes: 1) Encontrar el término límite total en la variación de la acción, y 2) Encontrar cómo se transforma el Lagrangiano bajo la variación de simetría. 3) Construya la carga de Noether. Entonces tenemos :

Variación total :
$d S = - metro C \int d σ \frac{d}{d σ} [\frac{z^{m}}{\sqrt{- {\dot{z}}_{m} {\dot{z}}^{m}}}] d z_{m}$ $\begin{equation} \delta S = -mc \int d\sigma \frac{d}{d\sigma} \left[\frac{z^\mu}{\sqrt{-\dot{z}_\mu\dot{z}^\mu}}\right] \delta z_\mu \end{equation}$ y esto trae el término límite $q = - ϵ \frac{metro C^{3}}{\sqrt{- {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}_{m}}} = - ϵ \frac{metro C^{2}}{\sqrt{1 - \frac{{\dot{z}}_{i}^{2}}{C^{2}}}} = - ϵ (γ metro C^{2})$ $\begin{equation} Q= -\epsilon \frac{mc^3}{\sqrt{-\dot{z}^\mu\dot{z}_\mu}}=-\epsilon \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{\dot{z}_i^2}{c^2}}}=-\epsilon( \gamma mc^2) \end{equation}$
Variación lagrangiana : Lagrangiana es
$L = - metro C \sqrt{- {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}_{m}}$ $L=-mc\sqrt{-\dot{z}^\mu\dot{z}_\mu}$ que trae $d L = \frac{\partial L}{\partial {\dot{z}}^{m}} d {\dot{z}}^{m} = metro C \frac{{\dot{z}}^{m} {\ddot{z}}_{m}}{\sqrt{- {\dot{z}}^{m} {\dot{z}}_{m}}} ϵ = ϵ \frac{d}{d σ} L$ $\begin{equation} \delta L = \frac{\partial L}{\partial \dot{z}^\mu}\delta{\dot{z}^\mu}= mc \frac{\dot{z}^\mu \ddot{z}_\mu}{\sqrt{-\dot{z}^\mu\dot{z}_\mu}}\epsilon = \epsilon \frac{d}{d\sigma}L \end{equation}$ donde usamos $d {\dot{z}}^{m} = ϵ {\ddot{z}}^{m}$ $\delta \dot{z}^\mu = \epsilon\ddot{z}^\mu$ y por lo tanto el término límite $k = ϵ L$ $\begin{equation} K= \epsilon L \end{equation}$
Sin cargo :
$mi = k - q = - metro C^{2} \sqrt{1 - {\dot{z}}_{i}^{2} / C^{2}} + metro C^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - {\dot{z}}_{i}^{2} / C^{2}}} = \frac{metro {\dot{z}}_{i}^{2}}{\sqrt{1 - {\dot{z}}_{i}^{2} / C^{2}}} = γ metro {\dot{z}}_{i}^{2}$ $\begin{equation} E= K-Q = -mc^2\sqrt{1-\dot{z}_i^2/c^2} + mc^2\frac{1}{\sqrt{1-\dot{z}_i^2/c^2}} = \frac{m\dot{z}_i^2}{\sqrt{1-\dot{z}_i^2/c^2}} = \gamma m \dot{z}_i^2\end{equation}$

Físicamente, esperaría que el Noether sea igual a la energía relativista total.

mi = γ metro C^{2}

$\begin{equation} E=\gamma mc^2 \end{equation}$ pero no

γ m {\dot{z}}_{i}^{2}

$\gamma m \dot{z}_i^2$ lo que me parece una cantidad sin sentido. Entonces, ¿qué está fallando en el cálculo anterior?

Respuestas (1)

Aplicación del teorema de Noether para una partícula puntual relativista

qmecanico · Answer 1

Por lo que vale, aquí hay una derivación directa:

El de 4 posiciones $x^{\mu}$ es una variable cíclica para el Lagrangiano para partículas puntuales relativistas masivas es $^1$
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} L_{0} = & - {metro}_{0} C \sqrt{- {\dot{X}}^{2}}, \\ {\dot{X}}^{2} := & {\dot{X}}^{m} η_{m v} {\dot{X}}^{v}, \\ {\dot{X}}^{m} := & \frac{d X^{m}}{d λ} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} L_0~=~&-m_0c\sqrt{-\dot{x}^2}, \cr \dot{x}^2~:=&~\dot{x}^{\mu}\eta_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}, \cr \dot{x}^{\mu}~:=~&\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}.\end{align}\tag{1}$
El teorema de Noether entonces produce que la carga de Noether correspondiente es el 4-momentum
$\begin{matrix} (2) & {pag}_{m} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{X}}^{m}} = \frac{{metro}_{0} C {\dot{X}}_{m}}{\sqrt{- {\dot{X}}^{2}}} . \end{matrix}$ $p_{\mu}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}~=~\frac{m_0c\dot{x}_{\mu}}{\sqrt{-\dot{x}^2}}.\tag{2}$
En el indicador estático $\lambda=t=\frac{x^0}{c}$ , ecuación (2) es la expresión estándar para el 4-momentum . En particular, el componente 0 (veces $c$ )
$\begin{matrix} (3) & {pag}^{0} C = {metro}_{0} γ C^{2} \end{matrix}$ $p^0c~=~m_0\gamma c^2\tag{3}$ es la energía total, cf. La pregunta de OP.

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$^1$ Usamos la convención de signos $(-,+,+,+)$ para la métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$ .

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chaveroche

Respuestas (1)

qmecanico

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¿La invariancia en el tiempo concluye la conservación de la energía? [cerrado]

¿Se puede derivar E=mc2E=mc2E=mc^2 de la métrica del espacio-tiempo de Minkowski? s2=x2+y2+z2−(ct)2s2=x2+y2+z2−(ct)2s^2=x^2+y^2+z^2-(ct)^2?