Alambre recto con corriente eléctrica constante y bucle cuadrado en el campo de gravedad

Question

Alambre recto con corriente eléctrica constante y bucle cuadrado en el campo de gravedad

opistofulax

Estaba tratando de resolver este ejercicio pero encontré algunas dificultades en la solución propuesta... El texto es:

Un lazo cuadrado de alambre (lado $l$ , masa $m$ , resistencia $R$ ) se encuentra en el $xz$ plano, debajo de un alambre recto ideal muy largo, que transporta una corriente $i_0$ , A una distancia $d$ . Ya que estamos en el $xz$ plano, esta es la fuerza de gravedad, con aceleración $g$ . En el momento $t_0$ el bucle se cae.
Escribe la ecuación de movimiento de la espira.

SOLUCIÓN: el flujo a través de la espira es

Φ (\vec{B_{I_{0}}}) = \int_{S} \vec{B_{I_{0}}} \cdot \hat{norte} d S = \int_{d}^{d + yo} \frac{yo m_{0} I_{0}}{2 π r} d r = \frac{yo m_{0} I_{0}}{2 π} en \frac{d + yo}{d}

$\Phi(\vec{B_{I_0}}) = \int_S\vec{B_{I_0}}\cdot\hat{n}\ \mathrm{d}S = \int_d^{d+l}\frac{l\mu_0I_0}{2\pi r}\ \mathrm{d}r = \frac{l\mu_0I_0}{2\pi}\ln{\frac{d+l}{d}}$

Ahora por la ley de Faraday puedo calcular el $emf$ inducido en el bucle cuadrado para calcular la fuerza de Lorentz para poner en la segunda ley de Newton

\vec{F} = metro \vec{a}

$\vec{F} = m\vec{a}$

el $emf_i$ , debido a la ley de Faraday es (donde un llamado $d \equiv d(t) \equiv y(t)$ )

mi metro F_{i} = - \frac{d Φ (\vec{B_{I_{0}}})}{d t} = + \frac{{yo}^{2} m_{0} I_{0}}{2 π} \frac{1}{y (t) (yo + y (t))} \cdot \frac{d y (t)}{d t}

$emf_i = -\frac{\mathrm{d}\Phi(\vec{B_{I_0}})}{\mathrm{d}t} = + \frac{l^2\mu_0I_0}{2\pi}\frac{1}{y(t)(l + y(t))}\cdot\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}$

la corriente inducida es por lo tanto:

I_{yo o o pag} = \frac{mi metro F_{i}}{R} = \frac{{yo}^{2} m_{0} I_{0}}{2 π R} \frac{1}{y (t) (yo + y (t))} \cdot \frac{d y (t)}{d t}

$I_{loop} = \frac{emf_i}{R} = \frac{l^2\mu_0I_0}{2\pi R}\frac{1}{y(t)(l + y(t))}\cdot\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}$

y circula en el sentido de las agujas del reloj (si no me equivoco...).

Bien, ahora viene el verdadero problema. Como no sabía cómo calcular la ley de Lorentz, miré la solución propuesta del problema, que es

La fuerza de Lorentz en los dos lados verticales es igual y opuesta, por lo que se cancela.

Desde ahí, ningún problema...

En los lados horizontales está dada por

$F = \frac{{yo}^{2} m_{0} I_{0} I_{yo o o pag}}{2 π} \frac{1}{y (t) (yo + y (t))} \hat{y}$ $F = \frac{l^2\mu_0I_0I_{loop}}{2\pi}\frac{1}{y(t)(l + y(t))}\hat{y}$

Ahora bien, ¿cómo es posible si el campo magnético está entrando normal a la espira? ¿No debería tener el signo opuesto? Y, además, ¿cómo calculó esa Fuerza? Me refiero a la fuerza de Lorentz parece

F = q \vec{v} \times \vec{B}

$F = q\vec{v}\times\vec{B}$

pero no puedo ver ni el campo magnetico, ni la velocidad en esa formula...

¡Espero que alguien sepa la respuesta! ¡Gracias!

Respuestas (1)

Alambre recto con corriente eléctrica constante y bucle cuadrado en el campo de gravedad

caverna · Answer 1

$\newcommand{\vect}[1]{{\bf #1}}$ $\newcommand{\dd}{{\rm d}}$ $\newcommand{\uvect}[1]{\hat{\vect{#1}}}$ La fuerza sobre una corriente $I$ se puede calcular como

\begin{matrix} (1) & d F = I d yo \times B \end{matrix}

$\dd\vect{F} = I\dd \vect{l}\times \vect{B} \tag{1}$

dónde $\dd\vect{l}$ va a lo largo de la corriente $I$ . Esta es en realidad la misma fuerza de Lorentz, pero escrita ligeramente diferente a la ecuación que tienes arriba. En términos generales, si toma una pequeña carga $\Delta q$ viajando a través de un alambre tal que su velocidad es $\Delta \vect{l}/\Delta t$ , la fuerza de Lorentz que experimenta esta carga es

\begin{matrix} (2) & Δ F = Δ q \frac{Δ yo}{Δ t} \times B = (\frac{Δ q}{Δ t}) Δ yo \times B = I Δ yo \times B \end{matrix}

$\Delta \vect{F} = \Delta q \frac{\Delta \vect{l}}{\Delta t}\times \vect{B} = \left( \frac{\Delta q}{\Delta t}\right)\Delta \vect{l}\times \vect{B} = I \Delta \vect{l}\times\vect{B} \tag{2}$

que es la ecuación. (1). Ahora, como usted señala, los segmentos verticales del bucle no contribuyen a la fuerza, solo los horizontales lo hacen, y para este caso, la Ec. (1) se convierte

\begin{array}{rcl} F & = & \int d F = I_{yo o o pag} \int d yo \times B \\ = & I_{yo o o pag} (\int_{tu pag} d yo \times B + \int_{d o w norte} d yo \times B) \\ = & I_{yo o o pag} yo (\frac{m_{0} I_{0}}{2 π} \frac{\hat{y}}{y} - \frac{m_{0} I_{0}}{2 π} \frac{\hat{y}}{y + yo}) \\ = & \frac{m_{0} I_{yo o o pag} I_{0} {yo}^{2}}{2 π} \frac{\hat{y}}{y (y + yo)} \end{array}

$\begin{eqnarray} \vect{F} &=& \int\dd\vect{F} = I_{\rm loop}\int\dd\vect{l}\times\vect{B} \\ &=& I_{\rm loop} \left(\int_{\rm up}\dd\vect{l}\times \vect{B} + \int_{\rm down}\dd\vect{l}\times \vect{B} \right) \\ &=& I_{\rm loop}l \left(\frac{\mu_0 I_0}{2\pi}\frac{\uvect{y}}{y} - \frac{\mu_0 I_0}{2\pi}\frac{\uvect{y}}{y + l} \right) \\ &=& \frac{\mu_0 I_{\rm loop}I_0l^2}{2\pi} \frac{\uvect{y}}{y(y + l)} \end{eqnarray}$

Alambre recto con corriente eléctrica constante y bucle cuadrado en el campo de gravedad

opistofulax

Respuestas (1)

caverna

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