Al encontrar la impedancia de un circuito RC, ¿por qué se multiplica con −j−jj y no con jjj?

Entiendo el concepto de que el voltaje va a la zaga de la corriente en un capacitor, por lo que tenemos que usar números imaginarios para encontrar la impedancia de un circuito RC en serie simple como este:

Circuito serie RC
(fuente: electronics-tutorials.ws )

Lo que da el siguiente diagrama vectorial:

Diagrama vectorial del circuito RC

Lo que no entiendo, sin embargo, es por qué tienes que multiplicar por − j y no j al calcular la reactancia capacitiva. Basado en mi comprensión limitada del plano complejo y la rotación, multiplicando por j rotaría la reactancia 90 grados en sentido antihorario, poniéndola en fase con la resistencia regular. ¿Por qué no es este el caso?

La rotación en el círculo matemático estándar es en sentido contrario a las agujas del reloj, no en el sentido de las agujas del reloj. La razón es arbitraria, pero probablemente porque rotar un +x 90 grados hacia un +y tenía más sentido que la otra opción. Por la forma en que trabaja Euler, mi i θ = porque ⁡ ( θ ) + i pecado ⁡ ( θ ) , el resto solo cae por ti. Consulte Uso de la impedancia compleja . Además, (1,0) se convierte en (cos θ, sen θ), cuando gira en sentido contrario a las agujas del reloj. Conveniente.
Hola, Jeppe. Sinceramente, creo que probablemente debería leer "Teoría y cálculo de los fenómenos de corriente alterna", 3.ª edición, de Charles Proteus Steinmetz (y Ernst J. Berg), 1900. El capítulo IV analiza el enfoque gráfico (y más intuitivo). Luego pasa a POR QUÉ se seleccionó el método algebraico, sobre el que está preguntando y que se cubre en el Capítulo V, para reemplazar los métodos gráficos. Los detalles gráficos se vuelven "bastante ocupados" en el papel, muy rápidamente. Sin embargo, si aprende el enfoque algebraico, es mucho menos probable que cometa errores. Pero los gráficos son mucho más intuitivos.

Respuestas (3)

Basado en mi comprensión limitada del plano complejo y la rotación, multiplicando por j rotaría la reactancia 90 grados en el sentido de las agujas del reloj

Esto es incorrecto. Al medir ángulos, un ángulo positivo es en sentido contrario a las agujas del reloj, no en el sentido de las agujas del reloj. Este es el caso también en trigonometría/geometría básica.

En un circuito RL multiplicarías por j .

Disculpas, eso fue un error tipográfico. He editado el post con la corrección. Sin embargo, con esta corrección, ¿por qué multiplicar por j no gira la reactancia en sentido antihorario, poniéndola en fase con la resistencia? Si multiplicaste por -j, ¿eso no desfasa la reactancia 180 grados?
La resistencia no tiene un componente complejo (reactivo). Ninguna cantidad de multiplicar un número real por j le dará un número real. El componente reactivo SIEMPRE estará en el eje "j"

Si multiplicas una variable real por j estaría en el plano sobre el eje imaginario. entonces multiplicando con j lo gira en sentido contrario a las agujas del reloj, − j lo gira en el sentido de las agujas del reloj.

Por qué es − j por el capacitor es porque

Z C = 1 j ω C
multiplicando con
j j
genera un − j en el numerador. Z es la llamada impedancia (ac-resistencia) de un componente los otros son
Z L = j ω L
y
Z R = R
Entonces su impedancia total es
Z = R − j ω C

Puede calcular la impedancia con la transformación de Laplace, como lo hice en mi imagen:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Las convenciones de los números imaginarios son arbitrarias. Las convenciones se han elegido de tal manera que tener una señal sinusoidal (voltaje o amperaje) con una fase anterior corresponde a ángulos positivos para el vector de amplitud complejo.

Ahora, un condensador tiene corriente de arrastre de voltaje, por lo que la impedancia (voltaje dividido por corriente) es imaginaria negativa. Un inductor tiene un voltaje que precede a la corriente, por lo que la impedancia es imaginaria positiva.

Uno podría cambiar las convenciones al revés sin cambios en los resultados una vez que convierte la magnitud compleja en amplitud y fase reales.

¿Qué quiere decir con "cambiar las convenciones al revés"? El signo de j representa la relación de fase de la vida real entre el voltaje y la corriente... que no se puede elegir arbitrariamente.
Al encontrar la impedancia de un circuito RC, ¿por qué se multiplica con −j−jj y no con jjj?
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