Agujeros negros giratorios y singularidad desnuda

La geometría del espacio-tiempo alrededor de un agujero negro giratorio sin carga se describe mediante la métrica de Kerr . Daré esto a continuación, y se verá aterrador, pero tengan paciencia conmigo porque solo hay una pequeña parte de la ecuación que necesitamos para ver por qué desaparece el horizonte. De todos modos, la métrica de Kerr es:

$$\begin{align} ds^2 &= -(1 - \frac{r_s r}{\rho^2})dt^2 \\ &+ \frac{\rho^2}{\Delta}dr^2 \\ &+ \rho^2d\theta^2 \\ &+ (r^2 + \alpha^2 + \frac{r_s r\alpha^2}{\rho^2}\sin^2\theta)\sin^2\theta d\phi^2 \\ &+ \frac{2r_sr\alpha\sin^2\theta}{\rho^2}dt d\phi \end{align}$$

Dónde:

$$\begin{align} r_s &= 2M \\ \alpha &= \frac{J}{M} \\ \rho^2 &= r^2 + \alpha^2\cos^2\theta \\ \Delta &= r^2 - r_sr + \alpha^2 \end{align}$$

en la ecuacion$J$es el momento angular del agujero negro,$r$es la distancia desde el centro del agujero negro,$\theta$es la latitud,$\phi$es la longitud y$t$es hora. El parámetro que se está calculando$ds$es la distancia total recorrida si te mueves una distancia$dr$y ángulos$d\theta$y$d\phi$en un tiempo$dt$.

Ahora, supongamos que permanecemos en un ángulo fijo en relación con el agujero negro, por lo que$d\theta = d\phi = 0$, y medimos la distancia a lo largo del radio hasta el centro del agujero negro. Elegiremos un tiempo fijo$t$para la medida, entonces$dt = 0$. Con todas estas restricciones, la métrica se simplifica drásticamente a:

$$ds^2 = \frac{\rho^2}{\Delta}dr^2$$

y esto es lo que necesitamos para entender el comportamiento del horizonte, porque el radio del horizonte de eventos es el valor de$r$por el cual el valor de$ds^2$va al infinito. Esto sucede cuando$\Delta = 0$, porque entonces obtenemos una división por cero. Entonces, para encontrar el radio del horizonte de eventos, solo tenemos que resolver la ecuación:

$$\Delta = r^2 - r_sr + \alpha^2 = 0$$

y esto es solo una cuadrática en$r$, como todos aprendimos a resolver en la escuela. Usando la fórmula cuadrática, la solución es (dada por la raíz más grande):

$$r = \frac{r_s + \sqrt{r_s^2 - 4\alpha^2}}{2} \tag{1}$$

Y la variación del radio del horizonte de eventos$r$con$\alpha/r$parece:

Tenga en cuenta que la línea se detiene en$r/r_s = 0.5$y$\alpha/r_s = 0.5$. La línea se detiene aquí porque más allá de este punto la ecuación (1) para$r$no tiene raíces reales, y esto significa que no hay un horizonte de eventos. pero recuerda que$\alpha$está relacionado con el momento angular$J$por:

$$\alpha = \frac{J}{M}$$

Entonces, para cualquier valor del momento angular$J > M$no hay horizonte de eventos, y es por eso que el horizonte de eventos desaparece cuando giras el agujero negro demasiado rápido.

Sin embargo, hay buenas razones para suponer que un agujero negro nunca puede girar tan rápido, y la desaparición del horizonte de eventos no es real, sino más bien una señal de que hemos intentado aplicar la métrica de Kerr a un sistema que no puede existir físicamente. . Hay un artículo aquí (PDF de 160 KB) que analiza la física, y las conclusiones son que es físicamente imposible hacer girar un agujero negro tan rápido.

Todo surge de la métrica de Kerr que describe los agujeros negros en rotación. En la ecuación cuando el valor de delta es cero encontramos el radio

$$r_\pm=M\pm\sqrt{M^2-a^2}$$ dónde$a$es el momento angular. Cuando$a$es menos que$M$, resulta en un agujero negro con dos horizontes. Cuando$a$es igual$M$, da como resultado un agujero negro de Kerr extremo con un horizonte de eventos. Cuando$a$es mayor que$M$, el radio de la ecuación será un número imaginario, por lo que no tenemos horizonte, por lo tanto, una singularidad desnuda. Así que esto es lo que creo que quiere decir con la desaparición del horizonte.